逆矩阵, 提示, 此条目的主题不是轉置矩陣, 逆矩陣, inverse, matrix, 又稱乘法反方陣, 反矩陣, 在线性代数中, 給定一个n, 階方陣a, displaystyle, mathbf, 若存在一n, 階方陣b, displaystyle, mathbf, 使得a, displaystyle, mathbf, mathbf, mathbf, 其中i, displaystyle, mathbf, 为n, 階单位矩阵, 則稱a, displaystyle, mathbf, 是可逆的, 且b, displ. 提示 此条目的主题不是轉置矩陣 逆矩陣 inverse matrix 又稱乘法反方陣 反矩陣 在线性代数中 給定一个n 階方陣A displaystyle mathbf A 若存在一n 階方陣B displaystyle mathbf B 使得A B B A I n displaystyle mathbf AB mathbf BA mathbf I n 其中I n displaystyle mathbf I n 为n 階单位矩阵 則稱A displaystyle mathbf A 是可逆的 且B displaystyle mathbf B 是A displaystyle mathbf A 的逆矩陣 記作A 1 displaystyle mathbf A 1 线性代数A 1 2 3 4 displaystyle mathbf A begin bmatrix 1 amp 2 3 amp 4 end bmatrix 向量 向量空间 基底 行列式 矩阵向量标量 向量 向量空间 向量投影 外积 向量积 内积 数量积 矩阵与行列式矩阵 行列式 线性方程组 秩 核 迹 單位矩陣 初等矩阵 方块矩阵 分块矩阵 三角矩阵 非奇异方阵 转置矩阵 逆矩阵 对角矩阵 可对角化矩阵 对称矩阵 反对称矩阵 正交矩阵 幺正矩阵 埃尔米特矩阵 反埃尔米特矩阵 正规矩阵 伴随矩阵 余因子矩阵 共轭转置 正定矩阵 幂零矩阵 矩阵分解 LU分解 奇异值分解 QR分解 极分解 特征分解 子式和余子式 拉普拉斯展開 克罗内克积线性空间与线性变换线性空间 线性变换 线性子空间 线性生成空间 基 线性映射 线性投影 线性无关 线性组合 线性泛函 行空间与列空间 对偶空间 正交 特征向量 最小二乘法 格拉姆 施密特正交化查论编只有方陣 n n 的矩陣 才可能有逆矩陣 若方阵A displaystyle mathbf A 的逆矩阵存在 则称A displaystyle mathbf A 为非奇异方阵或可逆方阵 與行列式類似 逆矩陣一般用於求解聯立方程組 目录 1 求法 1 1 伴随矩阵法 1 2 初等变换法 2 性质 3 广义逆阵 4 参见求法 编辑伴随矩阵法 编辑 如果矩阵A displaystyle A 可逆 则A 1 a d j A det A A A displaystyle A 1 frac mathrm adj A det A frac A A 其中A a d j A displaystyle A mathrm adj A 是A displaystyle A 的伴随矩阵 A d e t A displaystyle A mathrm det A 是A displaystyle A 的行列式 注意 A displaystyle A 中元素的排列特点是A displaystyle A 的第k displaystyle k 列元素是A displaystyle A 的第k displaystyle k 行元素的代数餘子式 要求得A displaystyle A 即为求解A displaystyle A 的余因子矩阵的转置矩阵 初等变换法 编辑 如果矩阵A displaystyle A 和B displaystyle B 互逆 则A B B A I displaystyle AB BA I 由条件A B B A displaystyle AB BA 以及矩阵乘法的定义可知 矩阵A displaystyle A 和B displaystyle B 都是方阵 再由条件A B I displaystyle AB I 以及定理 两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积 可知 这两个矩阵的行列式都不为0 也就是说 这两个矩阵的秩等于它们的级数 或称为阶 也就是说 A与B都是n n displaystyle n times n 方阵 且rank A rank B n 换而言之 A textstyle A 与B textstyle B 均为满秩矩阵 换句话说 这两个矩阵可以只经由初等行变换 或者只经由初等列变换 变为单位矩阵 因为对矩阵A displaystyle A 施以初等行变换 初等列变换 就相当于在A displaystyle A 的左边 右边 乘以相应的初等矩阵 所以我们可以同时对A displaystyle A 和I displaystyle I 施以相同的初等行变换 初等列变换 这样 当矩阵A displaystyle A 被变为I displaystyle I 时 I displaystyle I 就被变为A displaystyle A 的逆阵B displaystyle B 性质 编辑 A 1 1 A displaystyle left A 1 right 1 A l A 1 1 l A 1 displaystyle lambda A 1 frac 1 lambda times A 1 A B 1 B 1 A 1 displaystyle AB 1 B 1 A 1 A T 1 A 1 T displaystyle left A mathrm T right 1 left A 1 right mathrm T A T displaystyle A mathrm T 为A的转置 det A 1 1 det A displaystyle det A 1 frac 1 det A det为行列式 广义逆阵 编辑主条目 广义逆阵 广义逆阵 Generalized inverse 又称伪逆 是对逆阵的推广 一般所说的伪逆是指摩尔 彭若斯广义逆 它是由E H Moore和Roger Penrose分别独立提出的 伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用 参见 编辑矩阵 广义逆阵 除法 取自 https zh wikipedia org w index php title 逆矩阵 amp oldid 72686514, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
