反推控制

反推控制（backstepping）也稱為反演控制或反步法，是一種控制理论的技術，在約1990年時由Petar V. Kokotovic（英语：Petar V. Kokotovic）等人提出^[1][2]，針對特殊形式的非線性动力系统設計可以稳定系統的控制器。此一系統是由許多子系統一層一層組成，最內層的子系統不可再簡化，可以由其他方式穩定最內層的系統。由於此系統的递归結構，設計者可以以最內層可穩定的系統為啟始點，反推新的控制器來穩定較外層的子系統，此程序會一直進行到處理到最外層的外部控制命令為止。因此此方式稱為是「反推控制」^[3]。

反推控制的設計方式

反推控制的設計方式可以針對嚴格回授型式（英语：strict-feedback form）的系統，提供一種递归方式使其在原點可以稳定。考慮以下型式的动力系统^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}&=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}&=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}&=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})z_{i+1}\quad {\text{ for }}1\leq i<k-1\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-1}&=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}&=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}\end{aligned}}}$ 

其中

• ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ，其中${\displaystyle n\geq 1}$ 。
• ${\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i},\ldots ,z_{k-1},z_{k}}$ 是純量。
• u是系統的純量輸入
• ${\displaystyle f_{x},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}}$ 在原點處數值為零（也就是說${\displaystyle f_{i}(0,0,\dots ,0)=0}$ ）
• ${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots ,g_{i},\ldots ,g_{k-1},g_{k}}$ 是在關注區域內不為零（也就是${\displaystyle g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},\ldots ,z_{k})\neq 0}$ ，在${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ 的情形下）

另外假設系統

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$ 

在原點處有李雅普诺夫稳定性，可以用某種已知的控制方式${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$ 使得${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$ 。並且假設針對此穩定子系統，可以其李亞普諾夫函數 ${\displaystyle V_{x}}$ 。因此x子系統可以由其他方式穩定，利用反推控制可以將其穩定性延展到在外圍的${\displaystyle {\textbf {z}}}$ 。

在x的穩定子系統外圍的嚴格回授型式系統

• 反推控制的控制輸入u對狀態${\displaystyle z_{n}}$ 有最直接的穩定性效果。
• 狀態${\displaystyle z_{n}}$ 的作用是在狀態${\displaystyle z_{n-1}}$ 之前的穩定性控制。
• 此程序會繼續，使每一個狀態${\displaystyle z_{i}}$ 會都會被虛擬的控制信號${\displaystyle z_{i+1}}$ 所穩定。

反推控制會確認用${\displaystyle z_{1}}$ 要穩定x子系統的方式，接著再由下一個狀態${\displaystyle z_{2}}$ 來驅動狀態${\displaystyle z_{1}}$ ，使其產生可以穩定x的信號。因此此程序是從x的嚴格回授型式反推往外，一直到設計到最終的控制信號u。

递归控制设计概述

递归控制的作法如下

1. 假設較小（低階）的子系統

   ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$ 

   已經可以用一些控制方式${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$ 穩定，此控制方式會符合${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$ 的條件。意思是說，穩定此系統的${\displaystyle u_{x}}$ ，是用其他控制方式達成的。也假設已知此一穩定系統的李亞普諾夫函數 ${\displaystyle V_{x}}$ 。反推控制可以將這個子系統的穩定性拓展到較大的系統。

2. 會設計控制信號${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$ ，使得系統

   ${\displaystyle {\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$ 

   穩定，讓${\displaystyle z_{1}}$ 依照想要的${\displaystyle u_{x}}$ 控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數（augmented Lyapunov function candidate）來設計

   ${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$ 

   此控制信號${\displaystyle u_{1}}$ 可以適當選擇，使${\displaystyle {\dot {V}}_{1}}$ 可以遠離0

3. 會設計控制信號${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}$ ，使得系統

   ${\displaystyle {\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}$ 

   穩定，讓${\displaystyle z_{2}}$ 依照想要的${\displaystyle u_{1}}$ 控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數來設計

   ${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}))^{2}}$ 

   此控制信號 ${\displaystyle u_{2}}$ 可以適當選擇，使${\displaystyle {\dot {V}}_{2}}$ 可以遠離0

4. 會反覆此一程序，一直到其實際u已知為止，而且
   • 真實控制信號u會使${\displaystyle z_{k}}$ 接近虛擬控制信號${\displaystyle u_{k-1}}$ 的控制得以穩定。
   • 虛擬控制信號${\displaystyle u_{k-1}}$ 會使${\displaystyle z_{k-1}}$ 接近虛擬控制信號${\displaystyle u_{k-2}}$ 的控制得以穩定。
   • 虛擬控制信號${\displaystyle u_{k-2}}$ 會使${\displaystyle z_{k-2}}$ 接近虛擬控制信號${\displaystyle u_{k-3}}$ 的控制得以穩定。
   • ...
   • 虛擬控制信號${\displaystyle u_{2}}$ 會使${\displaystyle z_{2}}$ 接近虛擬控制信號${\displaystyle u_{1}}$ 的控制得以穩定。
   • 虛擬控制信號${\displaystyle u_{1}}$ 會使${\displaystyle z_{1}}$ 接近虛擬控制信號${\displaystyle u_{x}}$ 的控制得以穩定。
   • 虛擬控制信號${\displaystyle u_{x}}$ 會使x穩定在原點。

此程序稱為反推（backstepping），因為是從內部穩定的子系統開始，漸漸反推到較外圍的系統，同時維持每一步的穩定性。因

• ${\displaystyle f_{i}}$ 在${\displaystyle 0\leq i\leq k}$ 時為0
• ${\displaystyle g_{i}}$ 在${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ 不為0
• 給定控制信號${\displaystyle u_{x}}$ 會滿足${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$ ,

因此所得的系統在原點（${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$ , ${\displaystyle z_{1}=0}$ , ${\displaystyle z_{2}=0}$ , ..., ${\displaystyle z_{k-1}=0}$ 及${\displaystyle z_{k}=0}$ ）處穩定，是全域漸進穩定。

相關條目

• 非線性控制
• 嚴格回授型式（英语：Strict-feedback form）
• 鲁棒控制
• 自适应控制

參考資料

1. Kokotovic, P.V. The joy of feedback: nonlinear and adaptive. IEEE Control Systems Magazine. 1992, 12 (3): 7–17. doi:10.1109/37.165507. 
2. Lozano, R.; Brogliato, B. Adaptive control of robot manipulators with flexible joints. IEEE Transactions on Automatic Control. 1992, 37 (2): 174–181. doi:10.1109/9.121619. 
3. Khalil, H.K. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002 [2020-02-26]. ISBN 978-0-13-067389-3. （原始内容于2017-07-25）.