雙極坐標系, 此條目格式需要修正以符合格式手册, 2020年12月26日, 请协助補充相关的内部链接, 并使用百科全书的语气来改善这篇条目, 二維, 英語, bipolar, coordinates, 是一個正交坐標系, 學術界上有三種常用的, 除了在這裏討論的坐標系以外, 另外兩種是非正交的雙心坐標系與雙角坐標系, 繪圖, 圖中的紅色圓圈是, displaystyle, sigma, 等值曲線, 藍色圓圈則是, displaystyle, 等值曲線, 這裡所要討論的建立於阿波羅尼奧斯圓, displaystyle. 此條目格式需要修正以符合格式手册 2020年12月26日 请协助補充相关的内部链接 并使用百科全书的语气来改善这篇条目 二維雙極坐標系 英語 Bipolar coordinates 是一個正交坐標系 學術界上有三種常用的雙極坐標系 1 除了在這裏討論的坐標系以外 另外兩種是非正交的雙心坐標系與雙角坐標系 雙極坐標系繪圖 圖中的紅色圓圈是 s displaystyle sigma 等值曲線 藍色圓圈則是 t displaystyle tau 等值曲線 這裡所要討論的雙極坐標系建立於阿波羅尼奧斯圓 s displaystyle sigma 的等值曲線是圓圈 t displaystyle tau 的等值曲線也是圓圈 兩組圓圈互相垂直相交 雙極坐標系有兩個焦點 F 1 displaystyle F 1 與 F 2 displaystyle F 2 其直角坐標 x y displaystyle x y 通常分別設定為 a 0 displaystyle a 0 與 a 0 displaystyle a 0 所以 這兩個焦點都處於直角坐標系的 x 軸 雙極坐標系是好幾種三維正交坐標系的原始模 往 z 軸方向延伸 則可得到雙極圓柱坐標系 繞著 x 軸旋轉 即可得到雙球坐標系 繞著 y 軸旋轉 就可得到圓環坐標系 目录 1 基本定義 2 等值曲線 2 1 逆變換 3 標度因子 4 應用 5 參閱 6 參考文獻基本定義 编辑 雙極坐標的幾何詮釋 F 1 P displaystyle overline F 1 P 與 F 2 P displaystyle overline F 2 P 的夾角 F 1 P F 2 displaystyle angle F 1 PF 2 的弧度是 s displaystyle sigma F 1 P displaystyle F 1 P 與 F 2 P displaystyle F 2 P 的比例的自然對數是 t displaystyle tau s displaystyle sigma 與 t displaystyle tau 的等值曲線都是圓圈 分別以紅色與藍色表示 兩條等值曲線以直角相交 以洋紅色表示 在二維空間裏 一個點 P 的雙極坐標 s t displaystyle sigma tau 通常定義為 x a sinh t cosh t cos s displaystyle x a frac sinh tau cosh tau cos sigma y a sin s cosh t cos s displaystyle y a frac sin sigma cosh tau cos sigma 其中 點 P displaystyle P 的 s displaystyle sigma 坐標等於 F 1 P F 2 displaystyle angle F 1 PF 2 的弧度 t displaystyle tau 坐標等於 d 1 F 1 P displaystyle d 1 F 1 P 與 d 2 F 2 P displaystyle d 2 F 2 P 的比例的自然對數 t ln d 1 d 2 displaystyle tau ln frac d 1 d 2 回想 F 1 displaystyle F 1 與 F 2 displaystyle F 2 的坐標分別為 a 0 displaystyle a 0 與 a 0 displaystyle a 0 等值曲線 编辑不同 s displaystyle sigma 的等值曲線是一組不同圓心 而相交於兩個焦點 F 1 displaystyle F 1 與 F 2 displaystyle F 2 的圓圈 x 2 y a cot s 2 a 2 sin 2 s displaystyle x 2 y a cot sigma 2 frac a 2 sin 2 sigma 它們的圓心都包含於 y 軸 正值 s displaystyle sigma 的圓圈的圓心都在 x 軸以上 而負值 s displaystyle sigma 的圓圈的圓心則在 x 軸以下 當絕對值 s displaystyle left sigma right 增加時 圓半徑會減小 圓心會靠近原點 當圓心與原點同點時 s displaystyle left sigma right 達到最大值 p 2 displaystyle pi 2 不同 t displaystyle tau 的等值曲線是一組圍著焦點 互不相交 不同半徑的圓圈 半徑為 y 2 x a coth t 2 a 2 sinh 2 t displaystyle y 2 left x a coth tau right 2 frac a 2 sinh 2 tau 它們的圓心都包含於 x 軸 正值 t displaystyle tau 的圓圈在 x gt 0 displaystyle x gt 0 半平面 而負值 t displaystyle tau 的圓圈在 x lt 0 displaystyle x lt 0 半平面 t 0 displaystyle tau 0 曲線則與 y 軸同軸 當 t displaystyle tau 值增加時 圓圈的半徑會減少 圓心會靠近焦點 逆變換 编辑 雙極坐標 s t displaystyle sigma tau 可以用直角坐標 x y displaystyle x y 來表達 點 P 與兩個焦點之間的距離是 d 1 2 x a 2 y 2 displaystyle d 1 2 x a 2 y 2 d 2 2 x a 2 y 2 displaystyle d 2 2 x a 2 y 2 t displaystyle tau 是 d 1 displaystyle d 1 與 d 2 displaystyle d 2 的比例的自然對數 t ln d 1 d 2 displaystyle tau ln frac d 1 d 2 F 1 P F 2 displaystyle angle F 1 PF 2 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 F 1 P displaystyle overline F 1 P 與 F 2 P displaystyle overline F 2 P 的夾角 這夾角的弧度是 s displaystyle sigma 用餘弦定理來計算 cos s d 1 2 d 2 2 4 a 2 2 d 1 d 2 displaystyle cos sigma frac d 1 2 d 2 2 4a 2 2d 1 d 2 標度因子 编辑雙極坐標 s t displaystyle sigma tau 的標度因子相等 h s h t a cosh t cos s displaystyle h sigma h tau frac a cosh tau cos sigma 所以 無窮小面積元素等於 d A a 2 cosh t cos s 2 d s d t displaystyle dA frac a 2 cosh tau cos sigma 2 d sigma d tau 拉普拉斯算子是 2 F cosh t cos s a 2 2 F s 2 2 F t 2 displaystyle nabla 2 Phi left frac cosh tau cos sigma a right 2 frac partial 2 Phi partial sigma 2 frac partial 2 Phi partial tau 2 其它微分算子 例如 F displaystyle nabla cdot mathbf F 與 F displaystyle nabla times mathbf F 都可以用雙極坐標表達 只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內 應用 编辑雙極坐標有一個經典的應用是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式 在這些方程式裏 雙極坐標允許分離變數法的使用 一個典型的例題是 有兩個互相平行的圓柱導體 請問其周圍的電場為什麼 應用雙極坐標 我們可以精緻地分析這例題 參閱 编辑拉普拉斯 龍格 冷次向量參考文獻 编辑H Bateman Spheroidal and bipolar coordinates Duke Mathematical Journal 4 1938 no 1 39 50 Lockwood E H Bipolar Coordinates Chapter 25 in A Book of Curves Cambridge England Cambridge University Press pp 186 190 1967 Korn GA and Korn TM 1961 Mathematical Handbook for Scientists and Engineers McGraw Hill Weisstein Eric W 编 雙極坐標系 at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 2008 04 21 原始内容存档于2021 05 20 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 雙極坐標系 amp oldid 74738929, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,