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双伽玛函数

双伽玛函数伽玛函数的对数导数。

复平面上的双伽玛函数。点的颜色与的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值,而色彩则与辐角有关。

它是第一个多伽玛函数

与调和数的关系

双伽玛函数,通常用ψ0(x)、ψ0(x)或 来表示,与调和数有以下的关系:

 

其中Hn是第n个调和数,γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值,它可以表示为:

 

积分表示法

它有以下的积分表示法:

 

也可以写为

 

这可以从调和数的欧拉积分公式得出。

泰勒级数

双伽玛函数有一个有理ζ级数,由z=1的泰勒级数给出。这是

 ,

当|z|<1时收敛。在这里, 黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。

牛顿级数

双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出:

 

其中 二项式系数

反射公式

双伽玛函数满足一个反射公式,类似于伽玛函数的反射公式:

 

递推关系

双伽玛函数满足以下的递推关系

 

高斯和

双伽玛函数具有以下形式的高斯和

 

其中m是整数,且 。在这里,ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数 是一个伯努利多项式。乘法定理的一种特殊情况是:

 

一个推广为:

 

其中假设了q是自然数,而1-qa则不是。

高斯双伽玛定理

对于正整数    ,双伽玛函数可以用初等函数来表示:

 

特殊值

双伽玛函数有以下的特殊值:

 
 
 
 
 
 
 

参见

参考文献

双伽玛函数, 是伽玛函数的对数导数, 复平面上的ψ, displaystyle, 点s, displaystyle, 的颜色与ψ, displaystyle, 的值有关, 强烈的颜色意味着接近于零的值, 而色彩则与辐角有关, displaystyle, frac, gamma, frac, gamma, gamma, 它是第一个多伽玛函数, 目录, 与调和数的关系, 积分表示法, 泰勒级数, 牛顿级数, 反射公式, 递推关系, 高斯和, 高斯双伽玛定理, 特殊值, 参见, 参考文献与调和数的关系, 编辑, 通常用ψ. 双伽玛函数是伽玛函数的对数导数 复平面上的双伽玛函数ps s displaystyle psi s 点s displaystyle s 的颜色与ps s displaystyle psi s 的值有关 强烈的颜色意味着接近于零的值 而色彩则与辐角有关 ps x d d x ln G x G x G x displaystyle psi x frac d dx ln Gamma x frac Gamma x Gamma x 它是第一个多伽玛函数 目录 1 与调和数的关系 2 积分表示法 3 泰勒级数 4 牛顿级数 5 反射公式 6 递推关系 7 高斯和 8 高斯双伽玛定理 9 特殊值 10 参见 11 参考文献与调和数的关系 编辑双伽玛函数 通常用ps0 x ps0 x 或Ϝ displaystyle mathrm Digamma 来表示 与调和数有以下的关系 ps n H n 1 g displaystyle psi n H n 1 gamma 其中Hn是第n个调和数 g是欧拉 马歇罗尼常数 对于半整数的值 它可以表示为 ps n 1 2 g 2 ln 2 k 1 n 2 2 k 1 displaystyle psi left n frac 1 2 right gamma 2 ln 2 sum k 1 n frac 2 2k 1 积分表示法 编辑它有以下的积分表示法 ps x 0 e t t e x t 1 e t d t displaystyle psi x int 0 infty left frac e t t frac e xt 1 e t right dt 也可以写为 ps s 1 g 0 1 1 x s 1 x d x displaystyle psi s 1 gamma int 0 1 frac 1 x s 1 x dx 这可以从调和数的欧拉积分公式得出 泰勒级数 编辑双伽玛函数有一个有理z级数 由z 1的泰勒级数给出 这是 ps z 1 g k 1 z k 1 z k displaystyle psi z 1 gamma sum k 1 infty zeta k 1 z k 当 z lt 1时收敛 在这里 z n displaystyle zeta n 是黎曼z函数 这个级数可以很容易从赫尔维茨z函数的泰勒级数推导出 牛顿级数 编辑双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出 ps s 1 g k 1 1 k k s k displaystyle psi s 1 gamma sum k 1 infty frac 1 k k s choose k 其中 s k displaystyle textstyle s choose k 是二项式系数 反射公式 编辑双伽玛函数满足一个反射公式 类似于伽玛函数的反射公式 ps 1 x ps x p cot p x displaystyle psi 1 x psi x pi cot left pi x right 递推关系 编辑双伽玛函数满足以下的递推关系 ps x 1 ps x 1 x displaystyle psi x 1 psi x frac 1 x 高斯和 编辑双伽玛函数具有以下形式的高斯和 1 p k n 1 k sin 2 p n m k ps n k z 0 m k B 1 m k 1 2 m k displaystyle frac 1 pi k sum n 1 k sin left frac 2 pi nm k right psi left frac n k right zeta left 0 frac m k right B 1 left frac m k right frac 1 2 frac m k 其中m是整数 且0 lt m lt k displaystyle 0 lt m lt k 在这里 z s q 是赫尔维茨z函数 B n x displaystyle B n x 是一个伯努利多项式 乘法定理的一种特殊情况是 n 1 k ps n k k g log k displaystyle sum n 1 k psi left frac n k right k gamma log k 一个推广为 p 0 q 1 ps a p q q ps q a ln q displaystyle sum p 0 q 1 psi left a frac p q right q psi qa ln q 其中假设了q是自然数 而1 qa则不是 高斯双伽玛定理 编辑对于正整数m displaystyle m 和k displaystyle k m lt k displaystyle left m lt k right 双伽玛函数可以用初等函数来表示 ps m k g ln 2 k p 2 cot m p k 2 n 1 k 1 2 cos 2 p n m k ln sin n p k displaystyle psi left frac m k right gamma ln 2k frac pi 2 cot left frac m pi k right 2 sum n 1 lfloor frac k 1 2 rfloor cos left frac 2 pi nm k right ln sin left frac n pi k right 特殊值 编辑双伽玛函数有以下的特殊值 ps 1 g displaystyle psi 1 gamma ps 1 2 2 ln 2 g displaystyle psi left frac 1 2 right 2 ln 2 gamma ps 1 3 p 2 3 3 2 ln 3 g displaystyle psi left frac 1 3 right frac pi 2 sqrt 3 frac 3 2 ln 3 gamma ps 1 4 p 2 3 ln 2 g displaystyle psi left frac 1 4 right frac pi 2 3 ln 2 gamma ps 1 6 p 2 3 2 ln 2 3 2 ln 3 g displaystyle psi left frac 1 6 right frac pi 2 sqrt 3 2 ln 2 frac 3 2 ln 3 gamma ps 1 8 p 2 4 ln 2 2 2 p ln 3 2 2 g displaystyle psi left frac 1 8 right frac pi 2 4 ln 2 frac sqrt 2 2 left pi ln 3 2 sqrt 2 right gamma ps 3 4 p 2 3 ln 2 g displaystyle psi left frac 3 4 right frac pi 2 3 ln 2 gamma 参见 编辑伽玛函数 三伽玛函数 多伽玛函数参考文献 编辑Milton Abramowitz and Irene A Stegun Handbook of Mathematical Functions 1964 Dover Publications New York ISBN 0 486 61272 4 参见第 6 3 页面存档备份 存于互联网档案馆 节 埃里克 韦斯坦因 Digamma function MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 双伽玛函数 amp oldid 63512507, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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