Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . 参见第§6.3(页面存档备份,存于互联网档案馆)节。
双伽玛函数, 是伽玛函数的对数导数, 复平面上的ψ, displaystyle, 点s, displaystyle, 的颜色与ψ, displaystyle, 的值有关, 强烈的颜色意味着接近于零的值, 而色彩则与辐角有关, displaystyle, frac, gamma, frac, gamma, gamma, 它是第一个多伽玛函数, 目录, 与调和数的关系, 积分表示法, 泰勒级数, 牛顿级数, 反射公式, 递推关系, 高斯和, 高斯双伽玛定理, 特殊值, 参见, 参考文献与调和数的关系, 编辑, 通常用ψ. 双伽玛函数是伽玛函数的对数导数 复平面上的双伽玛函数ps s displaystyle psi s 点s displaystyle s 的颜色与ps s displaystyle psi s 的值有关 强烈的颜色意味着接近于零的值 而色彩则与辐角有关 ps x d d x ln G x G x G x displaystyle psi x frac d dx ln Gamma x frac Gamma x Gamma x 它是第一个多伽玛函数 目录 1 与调和数的关系 2 积分表示法 3 泰勒级数 4 牛顿级数 5 反射公式 6 递推关系 7 高斯和 8 高斯双伽玛定理 9 特殊值 10 参见 11 参考文献与调和数的关系 编辑双伽玛函数 通常用ps0 x ps0 x 或Ϝ displaystyle mathrm Digamma 来表示 与调和数有以下的关系 ps n H n 1 g displaystyle psi n H n 1 gamma 其中Hn是第n个调和数 g是欧拉 马歇罗尼常数 对于半整数的值 它可以表示为 ps n 1 2 g 2 ln 2 k 1 n 2 2 k 1 displaystyle psi left n frac 1 2 right gamma 2 ln 2 sum k 1 n frac 2 2k 1 积分表示法 编辑它有以下的积分表示法 ps x 0 e t t e x t 1 e t d t displaystyle psi x int 0 infty left frac e t t frac e xt 1 e t right dt 也可以写为 ps s 1 g 0 1 1 x s 1 x d x displaystyle psi s 1 gamma int 0 1 frac 1 x s 1 x dx 这可以从调和数的欧拉积分公式得出 泰勒级数 编辑双伽玛函数有一个有理z级数 由z 1的泰勒级数给出 这是 ps z 1 g k 1 z k 1 z k displaystyle psi z 1 gamma sum k 1 infty zeta k 1 z k 当 z lt 1时收敛 在这里 z n displaystyle zeta n 是黎曼z函数 这个级数可以很容易从赫尔维茨z函数的泰勒级数推导出 牛顿级数 编辑双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出 ps s 1 g k 1 1 k k s k displaystyle psi s 1 gamma sum k 1 infty frac 1 k k s choose k 其中 s k displaystyle textstyle s choose k 是二项式系数 反射公式 编辑双伽玛函数满足一个反射公式 类似于伽玛函数的反射公式 ps 1 x ps x p cot p x displaystyle psi 1 x psi x pi cot left pi x right 递推关系 编辑双伽玛函数满足以下的递推关系 ps x 1 ps x 1 x displaystyle psi x 1 psi x frac 1 x 高斯和 编辑双伽玛函数具有以下形式的高斯和 1 p k n 1 k sin 2 p n m k ps n k z 0 m k B 1 m k 1 2 m k displaystyle frac 1 pi k sum n 1 k sin left frac 2 pi nm k right psi left frac n k right zeta left 0 frac m k right B 1 left frac m k right frac 1 2 frac m k 其中m是整数 且0 lt m lt k displaystyle 0 lt m lt k 在这里 z s q 是赫尔维茨z函数 B n x displaystyle B n x 是一个伯努利多项式 乘法定理的一种特殊情况是 n 1 k ps n k k g log k displaystyle sum n 1 k psi left frac n k right k gamma log k 一个推广为 p 0 q 1 ps a p q q ps q a ln q displaystyle sum p 0 q 1 psi left a frac p q right q psi qa ln q 其中假设了q是自然数 而1 qa则不是 高斯双伽玛定理 编辑对于正整数m displaystyle m 和k displaystyle k m lt k displaystyle left m lt k right 双伽玛函数可以用初等函数来表示 ps m k g ln 2 k p 2 cot m p k 2 n 1 k 1 2 cos 2 p n m k ln sin n p k displaystyle psi left frac m k right gamma ln 2k frac pi 2 cot left frac m pi k right 2 sum n 1 lfloor frac k 1 2 rfloor cos left frac 2 pi nm k right ln sin left frac n pi k right 特殊值 编辑双伽玛函数有以下的特殊值 ps 1 g displaystyle psi 1 gamma ps 1 2 2 ln 2 g displaystyle psi left frac 1 2 right 2 ln 2 gamma ps 1 3 p 2 3 3 2 ln 3 g displaystyle psi left frac 1 3 right frac pi 2 sqrt 3 frac 3 2 ln 3 gamma ps 1 4 p 2 3 ln 2 g displaystyle psi left frac 1 4 right frac pi 2 3 ln 2 gamma ps 1 6 p 2 3 2 ln 2 3 2 ln 3 g displaystyle psi left frac 1 6 right frac pi 2 sqrt 3 2 ln 2 frac 3 2 ln 3 gamma ps 1 8 p 2 4 ln 2 2 2 p ln 3 2 2 g displaystyle psi left frac 1 8 right frac pi 2 4 ln 2 frac sqrt 2 2 left pi ln 3 2 sqrt 2 right gamma ps 3 4 p 2 3 ln 2 g displaystyle psi left frac 3 4 right frac pi 2 3 ln 2 gamma 参见 编辑伽玛函数 三伽玛函数 多伽玛函数参考文献 编辑Milton Abramowitz and Irene A Stegun Handbook of Mathematical Functions 1964 Dover Publications New York ISBN 0 486 61272 4 参见第 6 3 页面存档备份 存于互联网档案馆 节 埃里克 韦斯坦因 Digamma function MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 双伽玛函数 amp oldid 63512507, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,