卡羅爾質數

卡羅爾質數是可以用${\displaystyle 4^{n}-2^{n+1}-1}$或${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2}$表示的质数，前幾個卡羅爾數是：1、7、47、223、959、3967、16127、65023、261119、1046527 （OEIS數列A093112）。

這些數字最早是由克萊斯圖斯·伊曼紐爾（Cletus Emmanuel）研究，他以以朋友卡羅爾·基農（Carol G. Kirnon）的名字命名。^[1][2]

二進制表示式

在n > 2時，第n個卡羅爾數在二進制下，可以表示為n − 2 個連續的1，中間一個零，n + 1個連續的1，或者可以表示如下：

${\displaystyle \sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}.}$ 

例如，47的二進制為101111，223的二進制是11011111，第2n個梅森數和第n個卡羅爾數的間的差是${\displaystyle 2^{n+1}}$ ，因此可得卡羅爾數的另一個等效表示式${\displaystyle (2^{2n}-1)-2^{n+1}}$ 。第n個凱尼亞質數會比第n個卡羅爾質數多2的n+2次方。

參考文獻

1. 克萊斯圖斯·伊曼紐爾 （页面存档备份，存于互联网档案馆）的原始頁面
2. Message to Yahoo primenumbers group^{[失效連結]} from Cletus Emmanuel