卡爾曼猜想

卡爾曼猜想（Kalman's conjecture）或卡爾曼問題（Kalman problem）是已找到反例的猜想，是針對非線性控制系統，其中有一個純量非線性元素，此系統在線性穩定區間內的絕對穩定性。卡爾曼猜想是阿依熱爾曼猜想的加強版本，也是Markus–Yamabe猜想（英语：Markus–Yamabe conjecture）的特例。卡爾曼猜想雖已證實為否，不過帶出了（有效的）絕對穩定性的充份準則。

圖1：控制系統的方塊圖，其中的G(s)是線性傳遞函數，而f(e)是單值連續可微的函數

卡爾曼猜想的數學描述（卡爾曼問題）

鲁道夫·卡尔曼在1957年的論文^[1]中提到：

若圖1中的f(e)用e乘上常數K取代，K對應f'(e)中所有的可能值，發現閉迴路系統在所有K值下都收斂。在直覺上會認為此系統是單調穩定的，也就是說，所有暫態的解都會收斂到唯一、穩定的臨界點。

卡尔曼的描述可以寫成以下的猜想^[2]：

考慮一個有單一純量非線性函數的函數

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in R^{n},}$ 

其中P是常數的n×n矩陣，q、r是常數的n維向量，∗是轉置符號，f(e)是純量函數，f(0) = 0。假設，f(e)是可微分函數，而且滿足以下條件

${\displaystyle k_{1}<f'(e)<k_{2}.\,}$ 

。則卡爾曼猜想是指此系統在大區域穩定（也就是其唯一駐點為全域吸引子）若配合f(e) = ke, k ∈ (k₁, k₂)的所有線性系統都是漸近穩定。

阿依熱爾曼猜想要求非線性導數的條件，而卡爾曼猜想要求非線性本身要在線性區間內。

卡爾曼猜想在n ≤ 3時成立，若是n > 3，存在有效生成反例的作法^[3][4]：非線性的導數在線性穩定區間內，存在唯一穩定的平衡點，以及一個穩定的周期解（隱蔽振盪）。

在離散系統下，卡爾曼猜想只在n=1時成立，在n ≥ 2時可以建構反例^[5][6]。

參考資料

1. Kalman R.E. Physical and Mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems. Transactions of ASME. 1957, 79 (3): 553–566. 
2. Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Algorithms for Searching for Hidden Oscillations in the Aizerman and Kalman Problems (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 475–481 [2019-05-11]. doi:10.1134/S1064562411040120. （原始内容 (PDF)于2016-03-04）. 
3. Bragin V.O.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V.; Leonov G.A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011, 50 (5): 511–543 [2019-05-11]. doi:10.1134/S106423071104006X. （原始内容 (PDF)于2016-03-04）. 
4. Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2013, 23 (1): art. no. 1330002 [2019-05-11]. doi:10.1142/S0218127413300024. （原始内容于2019-03-24）. 
5. Carrasco J.; Heath W. P.; de la Sen M. Second-order counterexample to the Kalman conjecture in discrete-time. 2015 European Control Conference. 2015. 
6. Heath W. P.; Carrasco J; de la Sen M. Second-order counterexamples to the discrete-time Kalman conjecture. Automatica. 2015. doi:10.1016/j.automatica.2015.07.005. 

延伸閱讀

• Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems (PDF). IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). 2011, 18 (1): 2494–2505 [2019-05-11]. doi:10.3182/20110828-6-IT-1002.03315. （原始内容 (PDF)于2020-07-09）. 

外部連結

• Analytical-numerical localization of hidden oscillation in counterexamples to Aizerman's and Kalman's conjectures（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Discrete-time counterexample in Maplecloud（页面存档备份，存于互联网档案馆）