卡爾曼分解

卡爾曼分解（Kalman decomposition）是控制理论中的數學工具，可以將线性时不变（LTI）控制系統轉變為可以清楚區分系統可觀測及可控制成份的系統。分解後的系統會有更清楚的結構，更容易可以對系統可到達（英语：Reachability problem）及可觀測子空間的特性下結論。

符號

推導方式在離散時間系統及連續時間系統都是一様的。連續時間線性系統可以表示如下：

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$ 

${\displaystyle \,y(t)=Cx(t)+Du(t)}$ 

其中

${\displaystyle \,x}$ 為狀態向量

${\displaystyle \,y}$ 為輸出向量

${\displaystyle \,u}$ 為輸入（或控制）向量

${\displaystyle \,A}$ 為狀態矩陣

${\displaystyle \,B}$ 為輸入矩陣

${\displaystyle \,C}$ 為輸出矩陣

${\displaystyle \,D}$ 為前饋矩陣

而離散時間線性系統可以表示如下：

${\displaystyle \,x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$ 

${\displaystyle \,y(k)=Cx(k)+Du(k)}$ 

各向量及矩陣的意思如上。因此，系統可以表示為包括四個矩陣的數組${\displaystyle \,(A,B,C,D)}$ 。 令系統的階數為${\displaystyle \,n}$ 。

卡爾曼分解定義為將矩陣數組${\displaystyle \,(A,B,C,D)}$ 轉換為矩陣數組${\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})}$ ，且後者有以下的特性：

${\displaystyle \,{\hat {A}}={T^{-1}}AT}$ 

${\displaystyle \,{\hat {B}}={T^{-1}}B}$ 

${\displaystyle \,{\hat {C}}=CT}$ 

${\displaystyle \,{\hat {D}}=D}$ 

${\displaystyle \,T}$ 為${\displaystyle \,n\times n}$ 的可逆矩陣，可以定義為

${\displaystyle \,T={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$ 

其中

• ${\displaystyle \,T_{r{\overline {o}}}}$ 的各列（column）會生成可到達，不可觀察的狀態子空間。
• 選擇${\displaystyle \,T_{ro}}$  ，使得${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}\end{bmatrix}}}$ 的各列（column）是可到達子空間的基底。
• 選擇${\displaystyle \,T_{\overline {ro}}}$  ，使得${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{\overline {ro}}\end{bmatrix}}}$ 的各列（column）是不可觀察子空間的基底。
• 選擇${\displaystyle \,T_{{\overline {r}}o}}$  ，使得${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$ 可逆。

依上述的建構方式，矩陣${\displaystyle \,T}$ 可逆。可以觀察到其中有些矩陣可能會是零維度。例如，若系統有時有可觀察性及可控制性，則${\displaystyle \,T=T_{ro}}$ ，其他的矩陣都是零維。

標準型

利用可控制性及可觀察性的結果，可以證明轉換後的系統${\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})}$ 有以下形式的矩陣：

${\displaystyle \,{\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle \,{\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle \,{\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle \,{\hat {D}}=D}$ 

因此可得以下結論

• 子系統${\displaystyle \,(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)}$ 具有可到達性及可觀察性。
• 子系統${\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}\\0&A_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&C_{ro}\end{bmatrix}},D\right)}$ 有可到達性。
• 子系統${\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A_{ro}&A_{24}\\0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{ro}\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}C_{ro}&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},D\right)}$ 有可觀察性。

相關條目

• 可觀測性
• 可控制性

外部連結

• Lectures on Dynamic Systems and Control, Lecture 25（页面存档备份，存于互联网档案馆） - Mohammed Dahleh, Munther Dahleh, George Verghese — MIT OpenCourseWare