单位根

数学上，${\displaystyle \,n\,}$次單位根是${\displaystyle \,n\,}$次冪為1的複數。它們位於复平面的单位圆上，構成正多边形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。

复平面上的三次单位根

定义

${\displaystyle z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )}$ 

这方程的複數根 ${\displaystyle z\,}$ 為${\displaystyle n\,}$ 次單位根。

單位的 ${\displaystyle n\,}$ 次根有 ${\displaystyle n\,}$ 個：

${\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}\qquad (k=0,1,2,\cdots ,n-1)}$ 。

本原根

單位的 ${\displaystyle n\,}$ 次根以乘法構成${\displaystyle n}$ 階循環群。它的生成元是 ${\displaystyle n\,}$ 次本原單位根。${\displaystyle n\,}$ 次本原單位根是${\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}}$ ，其中${\displaystyle k\,}$ 和${\displaystyle n\,}$ 互質。${\displaystyle n\,}$ 次本原單位根數目為歐拉函數${\displaystyle \varphi (n)}$ 。

例子

一次單位根有一個: ${\displaystyle 1\,}$ 。

二次單位根有兩個: ${\displaystyle +1\,}$ 和${\displaystyle -1\,}$ ，只有${\displaystyle -1\,}$ 是本原根。

三次单位根是

${\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},}$ 

其中${\displaystyle {\mathrm {i} }\,}$ 是虚數單位；除${\displaystyle 1\,}$ 外都是本原根。

四次單位根是

${\displaystyle \left\{1,+{i},-1,-{i}\right\},}$ 

其中${\displaystyle +{\mathrm {i} }\,}$ 和${\displaystyle -{\mathrm {i} }\,}$ 是本原根。

和式

當${\displaystyle n\,}$ 不小於${\displaystyle 2\,}$ 时，${\displaystyle n\,}$ 次單位根總和為${\displaystyle 0\,}$ 。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}={\frac {e^{\frac {2\pi k{n}i}{n}}-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}={\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}=0}$ 。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理，由分圓方程的${\displaystyle x^{n-1}\,}$ 項係數為零得出。