位置的高階導數

物理学上，位置的高階導數，是位移对时间的四階以上對時間的导数；一阶、二阶、三阶、四阶导数分别称为速度、加速度、加加速度、加加加速度……。在英語中，位移对时间的四阶，五阶，六阶导数有时候有点滑稽地被稱为 "Snap," "Crackle" and "Pop"（英语：Snap, Crackle, and Pop）^[1][2]。

定義

四階導數被如下任意一个等价的公式定义：

${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d{\vec {j}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}}$ 

五階導數被如下任意一个等价的公式定义：

${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}$ 

更高階的導數亦可依此類推。其中：

${\displaystyle {\vec {c}}}$  是加加加加速度,

${\displaystyle {\vec {s}}}$  是加加加速度,

${\displaystyle {\vec {j}}}$  是加加速度,

${\displaystyle {\vec {a}}}$  是加速度,

${\displaystyle {\vec {v}}}$  是速度,

${\displaystyle {\vec {r}}}$  是位移,

${\displaystyle {\mathit {t}}}$  是时间。

匀加加加速运动公式

下列公式被用于加加加速度恒定的运动：

• ${\displaystyle j=j.+st}$ 
• ${\displaystyle a=a.+j.t+{\frac {1}{2}}st^{2}}$ 
• ${\displaystyle v=u+a.t+{\frac {1}{2}}j.t^{2}+{\frac {1}{6}}st^{3}}$ 
• ${\displaystyle S=ut+{\frac {1}{2}}a.t^{2}+{\frac {1}{6}}j.t^{3}+{\frac {1}{24}}st^{4}}$ 

其中：

${\displaystyle {\vec {s}}}$  是恒定的加加加速度,

${\displaystyle {\vec {j}}.}$  是初加加速度，

${\displaystyle {\vec {j}}}$  是末加加速度，

${\displaystyle {\vec {a}}.}$  是初加速度，

${\displaystyle {\vec {a}}}$  是末加速度，

${\displaystyle {\vec {v}}}$  是初速度，

${\displaystyle {\vec {u}}}$  是末速度，

${\displaystyle {\vec {S}}}$  是距离或位移，

${\displaystyle {\vec {r}}}$  是位置，

${\displaystyle {\mathit {t}}}$  是时间。

记号

目前没有通用的记号来表示這些高階导数。国际单位制中，加加加速度的单位是m/s⁴, m · s⁻⁴。符号 ${\displaystyle {\vec {s}}}$  (用于 ^[1]) 不可与可记作同个记号的位移矢量混淆。

有关链接

• Cosmography: cosmology without the Einstein equations, Matt Visser, School of Mathematics, Statistics and Computer Science, Victoria University of Wellington, 2004.

参考资料

1. Visser, Matt. Jerk, Snap, and the Cosmological Equation of State. Classical and Quantum Gravity. 2004-07-24, 21 (11): 2603–2616. Bibcode:2004CQGra..21.2603V. arXiv:gr-qc/0309109  . doi:10.1088/0264-9381/21/11/006. 
2. Gragert, Stephanie. . Usenet Physics and Relativity FAQ. Math Dept., University of California, Riverside. November 1998 [2008-03-12]. （原始内容存档于2016-11-30）.