力偶

力偶（英語：couple）在經典力學裏是一種只有合力矩，而不产生合力的作用力系統^[1]。作用於剛體时，力偶能夠改變其旋轉運動，同時保持其平移運動不變。力偶不會給予剛體質心任何加速度。

力偶所產生的力矩稱為力偶矩，它与力矩不同，改变力矩的参考点并不影响力偶矩的大小^[2]

簡單力偶

最簡單的力偶是由兩個大小相同、方向相反、作用線相異的作用力組成，又稱為“簡單力偶”^[1]。與作用力同線的直線稱為這作用力的“作用線”。作用於物體，力偶會給與物體一種旋轉效應或力偶矩。採用国际单位制，力偶的單位是牛頓${\displaystyle \cdot }$ 公尺。

假設施加於一物體的兩個作用線相異的作用力分別為 ${\displaystyle \mathbf {F} \,}$  、${\displaystyle -\mathbf {F} \,}$  ，則其力偶矩 ${\displaystyle \tau \,}$  的大小，以方程式表達為

${\displaystyle \tau =Fd\,}$  ；

其中，${\displaystyle d\,}$  是兩個作用力之間的垂直距離。

力偶矩 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,}$  的方向垂直於包含這力偶的平面。

假設，兩個大小相等，方向相反的作用力 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}$  與 ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}$  ， 分別施加於一個物體的位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}$  與 ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}$  ，則合力等於零：

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\,}$  ，

而所產生的力矩 ${\displaystyle \mathbf {M} \,}$  以方程式表達為

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {r} _{12}\times \mathbf {F} _{1}\,}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\,}$  是兩個位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}$  與 ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}$  之間的相對位置。

特別注意，由於 ${\displaystyle \mathbf {r} _{12}\,}$  是相對位置，不隨參考點的改變而改變，從物體上任何參考點觀測的力偶矩 ${\displaystyle \mathbf {M} \,}$  都相等。因此，力偶矩是個自由向量，作用於物體的任何一點，效果都一樣。

力偶矩與參考點無關

在計算作用力的力矩時，必須先選擇某參考點P，然後才能計算作用力對於參考點P的力矩。通常，若參考點P的位置改變，力矩也會改變。但是，力偶的力偶矩獨立於參考點P，對於任意參考點，力偶矩都相同。換句話說，力偶矩是一個自由向量。這理論稱為伐里農第二力矩定理（Varignon's Second Moment Theorem）^[3]。

證明：

假設分別施加於位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}$  、${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}$  的作用力 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}$  、${\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}$  ，共同形成一個力偶，則這兩個作用力的合力為

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\,}$  ，

這兩個作用力對於原點O的力矩 ${\displaystyle \mathbf {M} _{O}\,}$  為

${\displaystyle \mathbf {M} _{O}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}\,}$  。

設定參考點P的位置為 ${\displaystyle \mathbf {r} \,}$  。作用力 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}$  、${\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}$  對於點P的力矩 ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}\,}$  為

${\displaystyle \mathbf {M} _{P}=(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}-\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2})=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}\,}$  。

所以，力偶矩與參考點無關：

${\displaystyle \mathbf {M} _{P}=\mathbf {M} _{O}\,}$  。

應用

在機械工程學裏，力偶是個很有用的概念。以下列出幾個實例：

• 當用手扭轉螺絲起子時，螺絲起子會感受到力偶。
• 當用螺絲起子扭轉螺絲釘時，螺絲釘會感受到力偶。
• 一個在水裏旋轉的螺旋槳推進器，會感受到由水阻力產生的力偶。
• 在一個均勻電場裏，電偶極子會感受到電場的力偶。
• 航天器上的反应控制系统。
• 手在方向盘上施加的力。

參考文獻

1. Dynamics, Theory and Applications by T.R. Kane and D.A. Levinson, 1985, pp. 90-99: 自由下載 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. Physics for Engineering by Hendricks, Subramony, and Van Blerk, page 148
3. Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64