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判别式

判別式代数学中的概念。一个系数系数多项式判别式是一个与之相关的表达式。判别式等于零当且仅当多项式有重根

一元二次多项式的判别式 与其函数图像之间的关系

当多项式的系数不是实数或复数时,同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时,判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为:

其中的是多项式的最高次项系数,是多项式在某个分裂域中的根(如有重根的按重数重复排列)。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构,比如说圆锥曲线二次型代数数域中。在代数数论中,判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上,愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型,因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。

定义

二次方程的判别式

最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程 ,其中系数 实数,则它的判别式定义为:

 

判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为  ,那么根据二次方程的求根公式,两个根可以表示为:

 

方程的根与判别式的关系为:

 

两个根都是实数,当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时,判别式等于零。如果判别式小于零,则两根是共轭复数

三次方程的判别式

  • 三次多项式 的判别式是
 
  • 二次項系數為零的首一三次多項式 的判别式是:
 

四次方程的判别式

  • 四次多項式 的判别式是:
 

二次判别式

二次多项式 的判别式是 。在一元二次方程的求解中,判别式用来判断方程根的情况,并出现在根的表达式中。

  • 如果 ,那么 有两个相异实根 ,即 的图像穿过 轴两次。
  • 如果 ,那么 有两个相等实根  的图像与 相切
  • 如果 ,那么 没有实根,即 的图像与 轴没有交点。

一般多项式的判别式

对于一般的一个多项式

 

其判别式等于(差一个系数)以下的 矩阵行列式(见西尔维斯特矩阵):

 

这个矩阵的行列式称为  结式,记为  的判别式 由以下公式给出:

 .

例如,在 的情况下,以上的行列式是:

 

这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以 

作为等价条件,多项式的判别式等于:

 

其中 是多项式 根(重根按重数计算):

 

在这个表达式中可以清楚地看到 有重根当且仅当判别式为零。

多项式的判别式可以在任意的中定义,定义方式一样。带有根 的表达式仍然有效,只是根要在系数域的某个分裂域中取。

圆锥曲线的判别式

对于以下多项式所定义的圆锥曲线

 

它的判别式为:

 

它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0,则是椭圆。如果判别式等于0,则是一条抛物线。如果大于0,则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形(当这个多项式可以因式分解时)。

二次型的判别式

判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域K上的二次型Q上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和:

 

其中Lin个变量的线性组合。这时可以定义Q的判别式为所有ai的乘积。另外一个定义是Q所对应的矩阵的行列式

代数数域的判别式

参见

参考资料与外部链接

判别式, 此條目已列出參考文獻, 但因為沒有文內引註而使來源仍然不明, 2018年4月5日, 请加上合适的文內引註来改善这篇条目, 判別式是代数学中的概念, 一个实系数或复系数多项式的是一个与之相关的表达式, 等于零当且仅当多项式有重根, 一元二次多项式的, displaystyle, delta, 与其函数图像之间的关系, 当多项式的系数不是实数或复数域时, 同样有的概念, 总是系数域中的元素, 这时, 为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根, 的通常形式为, displaystyle, prod, 其中的a, . 此條目已列出參考文獻 但因為沒有文內引註而使來源仍然不明 2018年4月5日 请加上合适的文內引註来改善这篇条目 判別式是代数学中的概念 一个实系数或复系数多项式的判别式是一个与之相关的表达式 判别式等于零当且仅当多项式有重根 一元二次多项式的判别式 D displaystyle Delta 与其函数图像之间的关系 当多项式的系数不是实数或复数域时 同样有判别式的概念 判别式总是系数域中的元素 这时 判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根 判别式的通常形式为 a n 2 n 2 i lt j r i r j 2 displaystyle a n 2n 2 prod i lt j r i r j 2 其中的a n displaystyle a n 是多项式的最高次项系数 r 1 r n displaystyle r 1 r n 是多项式在某个分裂域中的根 如有重根的按重数重复排列 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构 比如说圆锥曲线 二次型和代数数域中 在代数数论中 判别式与所谓的 分歧 的概念紧密相关 实际上 愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型 因此在许多方面判别式都是一个中心概念 判别式在本质上表现为相应行列式的计算 目录 1 定义 1 1 二次方程的判别式 1 2 三次方程的判别式 1 3 四次方程的判别式 2 二次判别式 3 一般多项式的判别式 4 圆锥曲线的判别式 5 二次型的判别式 6 代数数域的判别式 7 参见 8 参考资料与外部链接定义 编辑二次方程的判别式 编辑 最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中 假设有二次多项式方程a x 2 b x c displaystyle ax 2 bx c 其中系数a b c displaystyle a b c 为实数 则它的判别式定义为 D b 2 4 a c displaystyle Delta b 2 4ac 判别式也是一个实数 如果设方程的两个根为r 1 displaystyle r 1 和r 2 displaystyle r 2 那么根据二次方程的求根公式 两个根可以表示为 r 1 b D 2 a r 2 b D 2 a displaystyle r 1 frac b sqrt Delta 2a quad r 2 frac b sqrt Delta 2a 方程的根与判别式的关系为 D a 2 r 1 r 2 2 displaystyle Delta a 2 r 1 r 2 2 两个根都是实数 当且仅当判别式大于等于零 当且仅当两根相等时 判别式等于零 如果判别式小于零 则两根是共轭的复数 三次方程的判别式 编辑 三次多项式a x 3 b x 2 c x d displaystyle ax 3 bx 2 cx d 的判别式是D b 2 c 2 4 a c 3 4 b 3 d 27 a 2 d 2 18 a b c d displaystyle Delta b 2 c 2 4ac 3 4b 3 d 27a 2 d 2 18abcd 二次項系數為零的首一三次多項式x 3 p x q displaystyle x 3 px q 的判别式是 D 4 p 3 27 q 2 displaystyle Delta 4p 3 27q 2 四次方程的判别式 编辑 四次多項式a x 4 b x 3 c x 2 d x e displaystyle ax 4 bx 3 cx 2 dx e 的判别式是 D b 2 c 2 d 2 4 b 3 d 3 4 a c 3 d 2 18 a b c d 3 27 a 2 d 4 256 a 3 e 3 4 b 2 c 3 e 18 b 3 c d e 16 a c 4 e 80 a b c 2 d e 6 a b 2 d 2 e 144 a 2 c d 2 e 27 b 4 e 2 144 a b 2 c e 2 128 a 2 c 2 e 2 192 a 2 b d e 2 displaystyle begin aligned Delta amp b 2 c 2 d 2 4b 3 d 3 4ac 3 d 2 18abcd 3 amp 27a 2 d 4 256a 3 e 3 4b 2 c 3 e 18b 3 cde amp 16ac 4 e 80abc 2 de 6ab 2 d 2 e 144a 2 cd 2 e amp 27b 4 e 2 144ab 2 ce 2 128a 2 c 2 e 2 192a 2 bde 2 end aligned 二次判别式 编辑二次多项式P x a x 2 b x c displaystyle P x ax 2 bx c 的判别式是D b 2 4 a c displaystyle D b 2 4ac 在一元二次方程的求解中 判别式用来判断方程根的情况 并出现在根的表达式中 如果D gt 0 displaystyle D gt 0 那么P x displaystyle P x 有两个相异实根x 1 2 b b 2 4 a c 2 a displaystyle x 1 2 frac b pm sqrt b 2 4ac 2a 即P x displaystyle P x 的图像穿过x displaystyle x 轴两次 如果D 0 displaystyle D 0 那么P x displaystyle P x 有两个相等实根x 1 x 2 b 2 a displaystyle x 1 x 2 frac b 2a P x displaystyle P x 的图像与x displaystyle x 轴相切 如果D lt 0 displaystyle D lt 0 那么P x displaystyle P x 没有实根 即P x displaystyle P x 的图像与x displaystyle x 轴没有交点 一般多项式的判别式 编辑对于一般的一个多项式 p x a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 a 1 x a 0 displaystyle p x a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 ldots a 1 x a 0 其判别式等于 差一个系数 以下的 2 n 1 2 n 1 displaystyle 2n 1 times 2n 1 的矩阵的行列式 见西尔维斯特矩阵 a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 0 0 0 a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 0 0 0 0 a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 n a n n 1 a n 1 n 2 a n 2 a 1 0 0 0 n a n n 1 a n 1 n 2 a n 2 a 1 0 0 0 0 0 n a n n 1 a n 1 n 2 a n 2 a 1 displaystyle left begin matrix amp a n amp a n 1 amp a n 2 amp ldots amp a 1 amp a 0 amp 0 ldots amp ldots amp 0 amp 0 amp a n amp a n 1 amp a n 2 amp ldots amp a 1 amp a 0 amp 0 ldots amp 0 amp vdots amp amp amp amp amp amp amp amp vdots amp 0 amp ldots amp 0 amp a n amp a n 1 amp a n 2 amp ldots amp a 1 amp a 0 amp na n amp n 1 a n 1 amp n 2 a n 2 amp ldots amp a 1 amp 0 amp ldots amp ldots amp 0 amp 0 amp na n amp n 1 a n 1 amp n 2 a n 2 amp ldots amp a 1 amp 0 amp ldots amp 0 amp vdots amp amp amp amp amp amp amp amp vdots amp 0 amp 0 amp ldots amp 0 amp na n amp n 1 a n 1 amp n 2 a n 2 amp ldots amp a 1 end matrix right 这个矩阵的行列式称为p x displaystyle p x 和p x displaystyle p x 的结式 记为R p p displaystyle R p p p x displaystyle p x 的判别式D p displaystyle D p 由以下公式给出 D p 1 1 2 n n 1 1 a n R p p displaystyle D p 1 frac 1 2 n n 1 frac 1 a n R p p 例如 在n 4 displaystyle n 4 的情况下 以上的行列式是 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 displaystyle begin vmatrix amp a 4 amp a 3 amp a 2 amp a 1 amp a 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp a 4 amp a 3 amp a 2 amp a 1 amp a 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp a 4 amp a 3 amp a 2 amp a 1 amp a 0 amp 4a 4 amp 3a 3 amp 2a 2 amp 1a 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 4a 4 amp 3a 3 amp 2a 2 amp 1a 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 4a 4 amp 3a 3 amp 2a 2 amp 1a 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 4a 4 amp 3a 3 amp 2a 2 amp 1a 1 end vmatrix 这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以a 4 displaystyle a 4 作为等价条件 多项式的判别式等于 a n 2 n 2 i lt j r i r j 2 displaystyle a n 2n 2 prod i lt j r i r j 2 其中r 1 r n displaystyle r 1 cdots r n 是多项式p x displaystyle p x 的複根 重根按重数计算 p x a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 a n x r 1 x r 2 x r n displaystyle begin matrix p x amp amp a n x n a n 1 x n 1 ldots a 1 x a 0 amp amp a n x r 1 x r 2 ldots x r n end matrix 在这个表达式中可以清楚地看到p displaystyle p 有重根当且仅当判别式为零 多项式的判别式可以在任意的域中定义 定义方式一样 带有根r i displaystyle r i 的表达式仍然有效 只是根要在系数域的某个分裂域中取 圆锥曲线的判别式 编辑对于以下多项式所定义的圆锥曲线 a x 2 b x y c y 2 d x e y f 0 displaystyle ax 2 bxy cy 2 dx ey f 0 它的判别式为 b 2 4 a c displaystyle b 2 4ac 它决定了圆锥曲线的形状 如果判别式小于0 则是椭圆或圆 如果判别式等于0 则是一条抛物线 如果大于0 则是双曲线 这个公式不适用于退化的情形 当这个多项式可以因式分解时 二次型的判别式 编辑判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域K上的二次型Q上 一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和 Q i 1 k a i L i 2 displaystyle Q sum i 1 k a i L i 2 其中Li是n个变量的线性组合 这时可以定义Q的判别式为所有ai的乘积 另外一个定义是Q所对应的矩阵的行列式 代数数域的判别式 编辑主条目 代数数域的判别式参见 编辑二次函数 一元二次方程 多项式 圆锥曲线 二次型参考资料与外部链接 编辑结式与判别式的关系 永久失效連結 Mathworld中的文献 页面存档备份 存于互联网档案馆 Planetmath中的文献 取自 https zh wikipedia org w index php title 判别式 amp oldid 67916574, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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