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列維-奇維塔符號

列維-奇維塔符號(Levi-Civita symbol),又稱列維-奇維塔ε,為一在線性代數張量分析微分幾何等數學範疇中常見到的符號。對於正整數 n ,它以1, 2, ..., n 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名稱包括排列符號反對稱符號交替符號。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。

列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 εϵ ,較不常見的也有以拉丁文小寫 e 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列:

其中每個下標指標 a1, a2, ..., an 取值介乎 1n 。在 εa1a2...an 中,共有 nn 個指標排列,可以排成為一個 n 維陣列。

當任何兩個指標相等,則定義符號值等於 0

當全部指標都不相等時,我們定義:

其中 p 稱為「排列的奇偶性」 (parity of permutation),是要將 a1, a2, ..., an 變換成自然次序 1, 2, ..., n ,所需的對換次數。而因子 (−1)p 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡, ε12...n 的值必須有定義,否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 +1 作為自然次序的值:

在本文中,也將使用這個定義。

從定義可知,當任何兩個指標互換,則須加上負號:

這稱為「完全反對稱性」。

n 維列維-奇維塔符號”一詞是指符號上的指標數 n ,和所討論的向量空間維度相符,其中可指歐幾里得空間非歐幾里得空間,例如 R3n = 3閔可夫斯基空間n = 4

列維-奇維塔符號的值,與參考座標系無關。此外,這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量;然而,它可以被理解為張量的密度。

列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣行列式,及三維歐幾里德空間中的兩個向量叉積

定義

列維-奇維塔符號最常用於三維和四維,並在一定程度上用於二維,因此在定義一般情況之前,先給出這些符號值。

二維

在二維中,列維-奇維塔符號定義如下:

   
 
 

這些值可以排列成 2×2 反對稱矩陣

 

相對於其他維度,二維的列維-奇維塔符號並不常見,雖然在某些專門的主題,如超對稱扭量理論中,談及2-旋量時會用到。

三維

 
對於 εijk 的指標 (i, j, k) ,數字 1, 2, 3  循環排列的次序,對應 ε = +1。在   反循環排列的次序,則對應 ε = −1。其餘情況下, ε = 0

三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中,列維-奇維塔符號定義如下:

     
   
   

也就是說,如果 (i, j, k)(1, 2, 3) 的偶排列,則符號值為 +1 。如果是奇排列,則符號值為 −1 。如果任何兩個索引重複,則符號值為 0

僅在三維中, (1, 2, 3) 的循環排列都是偶排列,反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中,僅觀察 (i, j, k)(1, 2, 3) 的循環排列,還是反循環排列,就足以分辨其奇偶性。

類似於二維矩陣,三維列維-奇維塔符號的值可以排成 3×3×3 陣列:

 

其中 i 是深度 (藍色: i = 1; 紅色: i = 2; 綠色: i = 3) , j 是橫行,k 是直列。

以下是一些例子:

 

四維

在四維中,列維-奇維塔符號定義如下:

    的偶排列
  的奇排列
其餘情況,即任意兩個指標相等

這些值可以排成 4×4×4×4 陣列,然而四維以上較難描繪出示意圖。

以下是一些例子:

 

推廣到高維

更一般地推廣到 n 維中,則列維-奇維塔符號的定義為:

     的偶排列
   的奇排列
其餘情況,即任意兩個指標相等

又可使用求積符號 表達為:

 

其中的 sgn(x)符號函數,根據 x 的正負給出 +10−1。該公式對對於任何 n 及任何指標排列都有效(當 n = 01 時,定義為空積 1)。

然而,計算以上公式的時間複雜度O(n2) ,而以不交循環排列的性質計算,則只需 O(n log(n))

兩個列維-奇維塔符號的積,可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得:

 

應用和範例

行列式

线性代数中, 3×3 的方陣 A = (aij)

 

行列式可以寫為:

 

類似地, n×n 矩陣 A = (aij) 的行列式可以寫為:

 

向量的叉積

對於向量 ab ,它們的叉積

 

對於向量 abc ,它們的三重積

 

性質

由列維-奇維塔符號給出(共變等級為n張量正交基礎中的組成部份,有時稱為“置換張量”。

根據普通的張量變換規則,列維-奇維塔符號在純旋轉下不變,與正交變換相關的所有座標系統(在定義上)相同。然而,列維-奇維塔符號是一種贗張量,因為在雅可比行列式−1的正交變換之下,例如,一個奇數維度的鏡射,如果它是一個張量,它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變,所以列維-奇維塔符號根據定義,是一個贗張量。

由於列維-奇維塔符號是贗張量,因此取叉積的結果是贗張量,而不是向量。

在一般座標變換下,置換張量的分量乘以变换矩阵雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中,其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些,不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的,則根據座標的方向是否相同,因子將為±1。

在無指標的張量符號中,列維-奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代。

在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中,列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標,而不改變意義,這也許是方便的如下寫成:

 

在這些例子中,上標應該被視為與下標相同。

使用愛因斯坦標記法可消除求和符號,其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如,

 .

以下的例子使用愛因斯坦標記法。

二維

在二維上,當所有    各取值1和2時,

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

(3)

三維

指標和符號值

在三維中,當所有     各取值1,2和3時:

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

(6)

乘積

列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中,關係由以下等式給出(垂直線表示行列式):

 

這個結果的一個特例是(4):

 

有時候稱為“contracted epsilon identity”。

在愛因斯坦標記法中, 指標的重複表示 的總和。然後前一個被表示為 

 

n

指標和符號值

n維中,當所有 take values 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

(9)

驚嘆號( )代表階乘,而 是廣義克罗内克函数,對於任意n有屬性:

 

從以下事實可得出:

  • 每個排列是偶排列或奇排列,
  •  ,與
  • 任何n-元素集合的排列數正好是 

乘積

一般來說,對於n維,兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成:

 

證明

列維, 奇維塔符號, 本條目存在以下問題, 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法, 此條目需要擴充, 2015年4月16日, 请協助改善这篇條目, 更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到, 请在擴充條目後將此模板移除, 此條目没有列出任何参考或来源, 2015年4月16日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, levi, civita, symbol, 又稱列維, 奇維塔ε, 為一在線性代數, 張量分析和微分幾何等數學範疇中. 本條目存在以下問題 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法 此條目需要擴充 2015年4月16日 请協助改善这篇條目 更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到 请在擴充條目後將此模板移除 此條目没有列出任何参考或来源 2015年4月16日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 列維 奇維塔符號 Levi Civita symbol 又稱列維 奇維塔e 為一在線性代數 張量分析和微分幾何等數學範疇中常見到的符號 對於正整數 n 它以1 2 n 所形成排列的奇偶性來定義 它以義大利數學家和物理學家图利奥 列维 齐维塔命名 其他名稱包括排列符號 反對稱符號與交替符號 這些名稱與它排列和反對稱的性質有關 列維 奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 e 或 ϵ 較不常見的也有以拉丁文小寫 e 記號 下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列 e a 1 a 2 a n displaystyle varepsilon a 1 a 2 cdots a n 其中每個下標指標 a1 a2 an 取值介乎 1 到 n 在 ea1a2 an 中 共有 nn 個指標排列 可以排成為一個 n 維陣列 當任何兩個指標相等 則定義符號值等於 0 e a p a p 0 displaystyle varepsilon cdots a p cdots a p cdots 0 當全部指標都不相等時 我們定義 e a 1 a 2 a n 1 p e 12 n displaystyle varepsilon a 1 a 2 cdots a n 1 p varepsilon 12 cdots n 其中 p 稱為 排列的奇偶性 parity of permutation 是要將 a1 a2 an 變換成自然次序 1 2 n 所需的對換次數 而因子 1 p 被稱為 排列正負號 signum of permutation 這裡 e12 n 的值必須有定義 否則其他特定排列的符號值將無法確定 大多數作者選擇 1 作為自然次序的值 e 12 n 1 displaystyle varepsilon 12 cdots n 1 在本文中 也將使用這個定義 從定義可知 當任何兩個指標互換 則須加上負號 e a p a q e a q a p displaystyle varepsilon cdots a p cdots a q cdots varepsilon cdots a q cdots a p cdots 這稱為 完全反對稱性 n 維列維 奇維塔符號 一詞是指符號上的指標數 n 和所討論的向量空間維度相符 其中可指歐幾里得空間或非歐幾里得空間 例如 R3 的 n 3 或閔可夫斯基空間的 n 4 列維 奇維塔符號的值 與參考座標系無關 此外 這裡使用 符號 一詞 強調了它並不是一個張量 然而 它可以被理解為張量的密度 列維 奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式 及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積 目录 1 定義 1 1 二維 1 2 三維 1 3 四維 1 4 推廣到高維 2 應用和範例 2 1 行列式 2 2 向量的叉積 3 性質 3 1 二維 3 2 三維 3 2 1 指標和符號值 3 2 2 乘積 3 3 n維 3 3 1 指標和符號值 3 3 2 乘積 3 4 證明定義 编辑列維 奇維塔符號最常用於三維和四維 並在一定程度上用於二維 因此在定義一般情況之前 先給出這些符號值 二維 编辑 在二維中 列維 奇維塔符號定義如下 e i j 1 1 0 displaystyle varepsilon ij begin cases 1 1 0 end cases 當 i j 1 2 displaystyle left i j right left 1 2 right 當 i j 2 1 displaystyle left i j right left 2 1 right 當 i j displaystyle i j 這些值可以排列成 2 2 反對稱矩陣 e 11 e 12 e 21 e 22 0 1 1 0 displaystyle begin pmatrix varepsilon 11 amp varepsilon 12 varepsilon 21 amp varepsilon 22 end pmatrix begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix 相對於其他維度 二維的列維 奇維塔符號並不常見 雖然在某些專門的主題 如超對稱和扭量理論中 談及2 旋量時會用到 三維 编辑 對於 eijk 的指標 i j k 數字 1 2 3 在 循環排列的次序 對應 e 1 在 反循環排列的次序 則對應 e 1 其餘情況下 e 0 三維以上的列維 奇維塔符號更常用 在三維中 列維 奇維塔符號定義如下 e i j k 1 1 0 displaystyle varepsilon ijk begin cases 1 1 0 end cases 當 i j k 1 2 3 displaystyle left i j k right left 1 2 3 right 2 3 1 displaystyle left 2 3 1 right 或 3 1 2 displaystyle left 3 1 2 right 當 i j k 3 2 1 displaystyle left i j k right left 3 2 1 right 2 1 3 displaystyle left 2 1 3 right 或 1 3 2 displaystyle left 1 3 2 right 當 i j displaystyle i j j k displaystyle j k 或 i k displaystyle i k 也就是說 如果 i j k 是 1 2 3 的偶排列 則符號值為 1 如果是奇排列 則符號值為 1 如果任何兩個索引重複 則符號值為 0 僅在三維中 1 2 3 的循環排列都是偶排列 反循環排列都是奇排列 這意味著在三維中 僅觀察 i j k 是 1 2 3 的循環排列 還是反循環排列 就足以分辨其奇偶性 類似於二維矩陣 三維列維 奇維塔符號的值可以排成 3 3 3 陣列 其中 i 是深度 藍色 i 1 紅色 i 2 綠色 i 3 j 是橫行 k 是直列 以下是一些例子 e 1 3 2 e 1 2 3 1 e 3 1 2 e 2 1 3 e 1 2 3 1 e 2 3 1 e 1 3 2 e 1 2 3 1 e 2 3 2 e 2 3 2 0 displaystyle begin aligned varepsilon color BrickRed 1 color Violet 3 color Orange 2 varepsilon color BrickRed 1 color Orange 2 color Violet 3 amp 1 varepsilon color Violet 3 color BrickRed 1 color Orange 2 varepsilon color Orange 2 color BrickRed 1 color Violet 3 amp varepsilon color BrickRed 1 color Orange 2 color Violet 3 1 varepsilon color Orange 2 color Violet 3 color BrickRed 1 varepsilon color BrickRed 1 color Violet 3 color Orange 2 amp varepsilon color BrickRed 1 color Orange 2 color Violet 3 1 varepsilon color Orange 2 color Violet 3 color Orange 2 varepsilon color Orange 2 color Violet 3 color Orange 2 amp 0 end aligned 四維 编辑 在四維中 列維 奇維塔符號定義如下 e i j k l 1 1 0 displaystyle varepsilon ijkl begin cases 1 1 0 end cases 當 i j k l 1 2 3 4 displaystyle left i j k l right left 1 2 3 4 right 的偶排列當 i j k l 1 2 3 4 displaystyle left i j k l right left 1 2 3 4 right 的奇排列其餘情況 即任意兩個指標相等這些值可以排成 4 4 4 4 陣列 然而四維以上較難描繪出示意圖 以下是一些例子 e 1 4 3 2 e 1 2 3 4 1 e 2 1 3 4 e 1 2 3 4 1 e 4 3 2 1 e 1 3 2 4 e 1 2 3 4 1 e 3 2 4 3 e 3 2 4 3 0 displaystyle begin aligned varepsilon color BrickRed 1 color RedViolet 4 color Violet 3 color Orange color Orange 2 varepsilon color BrickRed 1 color Orange color Orange 2 color Violet 3 color RedViolet 4 amp 1 varepsilon color Orange color Orange 2 color BrickRed 1 color Violet 3 color RedViolet 4 varepsilon color BrickRed 1 color Orange color Orange 2 color Violet 3 color RedViolet 4 amp 1 varepsilon color RedViolet 4 color Violet 3 color Orange color Orange 2 color BrickRed 1 varepsilon color BrickRed 1 color Violet 3 color Orange color Orange 2 color RedViolet 4 amp varepsilon color BrickRed 1 color Orange color Orange 2 color Violet 3 color RedViolet 4 1 varepsilon color Violet 3 color Orange color Orange 2 color RedViolet 4 color Violet 3 varepsilon color Violet 3 color Orange color Orange 2 color RedViolet 4 color Violet 3 amp 0 end aligned 推廣到高維 编辑 更一般地推廣到 n 維中 則列維 奇維塔符號的定義為 e a 1 a 2 a 3 a n 1 1 0 displaystyle varepsilon a 1 a 2 a 3 ldots a n begin cases 1 1 0 end cases 當 a 1 a 2 a 3 a n displaystyle a 1 a 2 a 3 ldots a n 是 1 2 3 n displaystyle 1 2 3 dots n 的偶排列當 a 1 a 2 a 3 a n displaystyle a 1 a 2 a 3 ldots a n 是 1 2 3 n displaystyle 1 2 3 dots n 的奇排列其餘情況 即任意兩個指標相等又可使用求積符號 表達為 e a 1 a 2 a 3 a n 1 i lt j n sgn a j a i sgn a 2 a 1 sgn a 3 a 1 sgn a n a 1 sgn a 3 a 2 sgn a 4 a 2 sgn a n a 2 sgn a n a n 1 displaystyle begin aligned varepsilon a 1 a 2 a 3 ldots a n amp prod 1 leq i lt j leq n operatorname sgn a j a i amp operatorname sgn a 2 a 1 operatorname sgn a 3 a 1 dots operatorname sgn a n a 1 operatorname sgn a 3 a 2 operatorname sgn a 4 a 2 dots operatorname sgn a n a 2 dots operatorname sgn a n a n 1 end aligned 其中的 sgn x 是符號函數 根據 x 的正負給出 1 0 或 1 該公式對對於任何 n 及任何指標排列都有效 當 n 0 或 1 時 定義為空積 1 然而 計算以上公式的時間複雜度為 O n2 而以不交循環排列的性質計算 則只需 O n log n 兩個列維 奇維塔符號的積 可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得 e i j k e m n l d i m d i n d i l d j m d j n d j l d k m d k n d k l displaystyle varepsilon ijk dots varepsilon mnl dots begin vmatrix delta im amp delta in amp delta il amp dots delta jm amp delta jn amp delta jl amp dots delta km amp delta kn amp delta kl amp dots vdots amp vdots amp vdots end vmatrix 應用和範例 编辑行列式 编辑 在线性代数中 3 3 的方陣 A aij A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 displaystyle A begin pmatrix a 11 amp a 12 amp a 13 a 21 amp a 22 amp a 23 a 31 amp a 32 amp a 33 end pmatrix 其行列式可以寫為 det A i j k 1 3 e i j k a 1 i a 2 j a 3 k displaystyle det A sum i j k 1 3 varepsilon ijk a 1i a 2j a 3k 類似地 n n 矩陣 A aij 的行列式可以寫為 det A a 1 a 2 a n 1 n e a 1 a 2 a n a 1 a 1 a 2 a 2 a n a n displaystyle det A sum a 1 a 2 cdots a n 1 n varepsilon a 1 a 2 cdots a n a 1a 1 a 2a 2 cdots a na n 向量的叉積 编辑 對於向量 a 與 b 它們的叉積 a b e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 1 i j k 3 e i j k a i b j e k displaystyle boldsymbol a times boldsymbol b begin vmatrix boldsymbol e 1 amp boldsymbol e 2 amp boldsymbol e 3 a 1 amp a 2 amp a 3 b 1 amp b 2 amp b 3 end vmatrix sum 1 leq i j k leq 3 varepsilon ijk a i b j boldsymbol e k 對於向量 a b 與 c 它們的三重積 a b c a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 1 i j k 3 e i j k a i b j c k displaystyle boldsymbol a cdot boldsymbol b times boldsymbol c begin vmatrix a 1 amp a 2 amp a 3 b 1 amp b 2 amp b 3 c 1 amp c 2 amp c 3 end vmatrix sum 1 leq i j k leq 3 varepsilon ijk a i b j c k 性質 编辑由列維 奇維塔符號給出 共變等級為n 張量在正交基礎中的組成部份 有時稱為 置換張量 根據普通的張量變換規則 列維 奇維塔符號在純旋轉下不變 與正交變換相關的所有座標系統 在定義上 相同 然而 列維 奇維塔符號是一種贗張量 因為在雅可比行列式 1的正交變換之下 例如 一個奇數維度的鏡射 如果它是一個張量 它 應該 有一個負號 由於它根本沒有改變 所以列維 奇維塔符號根據定義 是一個贗張量 由於列維 奇維塔符號是贗張量 因此取叉積的結果是贗張量 而不是向量 在一般座標變換下 置換張量的分量乘以变换矩阵的雅可比 這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中 其組成部份與列維 奇維塔符號表示的那些 不同之處在於一整體因子 如果座標是正交的 則根據座標的方向是否相同 因子將為 1 在無指標的張量符號中 列維 奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代 在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中 列維 奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標 而不改變意義 這也許是方便的如下寫成 e i j k e i j k displaystyle varepsilon ij dots k varepsilon ij dots k 在這些例子中 上標應該被視為與下標相同 使用愛因斯坦標記法可消除求和符號 其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和 例如 e i j k e i m n i 1 2 3 e i j k e i m n displaystyle varepsilon ijk varepsilon imn equiv sum i 1 2 3 varepsilon ijk varepsilon imn 以下的例子使用愛因斯坦標記法 二維 编辑 在二維上 當所有i displaystyle i j displaystyle j m displaystyle m n displaystyle n 各取值1和2時 e i j e m n d i m d j n d i n d j m displaystyle varepsilon ij varepsilon mn delta i m delta j n delta i n delta j m 1 e i j e i n d j n displaystyle varepsilon ij varepsilon in delta j n 2 e i j e i j 2 displaystyle varepsilon ij varepsilon ij 2 3 三維 编辑 指標和符號值 编辑 在三維中 當所有i displaystyle i j displaystyle j k displaystyle k m displaystyle m n displaystyle n 各取值1 2和3時 e i j k e i m n d j m d k n d j n d k m displaystyle varepsilon ijk varepsilon imn delta j m delta k n delta j n delta k m 4 e j m n e i m n 2 d j i displaystyle varepsilon jmn varepsilon imn 2 delta j i 5 e i j k e i j k 6 displaystyle varepsilon ijk varepsilon ijk 6 6 乘積 编辑 列維 奇維塔符號與克罗内克函数有關 在三維中 關係由以下等式給出 垂直線表示行列式 e i j k e l m n d i l d i m d i n d j l d j m d j n d k l d k m d k n d i l d j m d k n d j n d k m d i m d j l d k n d j n d k l d i n d j l d k m d j m d k l displaystyle begin aligned varepsilon ijk varepsilon lmn amp begin vmatrix delta il amp delta im amp delta in delta jl amp delta jm amp delta jn delta kl amp delta km amp delta kn end vmatrix 6pt amp delta il left delta jm delta kn delta jn delta km right delta im left delta jl delta kn delta jn delta kl right delta in left delta jl delta km delta jm delta kl right end aligned 這個結果的一個特例是 4 i 1 3 e i j k e i m n d j m d k n d j n d k m displaystyle sum i 1 3 varepsilon ijk varepsilon imn delta jm delta kn delta jn delta km 有時候稱為 contracted epsilon identity 在愛因斯坦標記法中 i displaystyle i 指標的重複表示i displaystyle i 的總和 然後前一個被表示為e i j k e i m n d j m d k n d j n d k m displaystyle varepsilon ijk varepsilon imn delta jm delta kn delta jn delta km i 1 3 j 1 3 e i j k e i j n 2 d k n displaystyle sum i 1 3 sum j 1 3 varepsilon ijk varepsilon ijn 2 delta kn n維 编辑 指標和符號值 编辑 在n 維中 當所有i 1 i n j 1 j n displaystyle i 1 ldots i n j 1 ldots j n take values1 2 n displaystyle 1 2 ldots n e i 1 i n e j 1 j n n d i 1 j 1 d i n j n d i 1 i n j 1 j n displaystyle varepsilon i 1 dots i n varepsilon j 1 dots j n n delta i 1 j 1 dots delta i n j n delta i 1 dots i n j 1 dots j n 7 e i 1 i k i k 1 i n e i 1 i k j k 1 j n k n k d i k 1 j k 1 d i n j n k d i k 1 i n j k 1 j n displaystyle varepsilon i 1 dots i k i k 1 dots i n varepsilon i 1 dots i k j k 1 dots j n k n k delta i k 1 j k 1 dots delta i n j n k delta i k 1 dots i n j k 1 dots j n 8 e i 1 i n e i 1 i n n displaystyle varepsilon i 1 dots i n varepsilon i 1 dots i n n 9 驚嘆號 displaystyle 代表階乘 而d b a displaystyle delta beta ldots alpha ldots 是廣義克罗内克函数 對於任意n 有屬性 i j k 1 n e i j k e i j k n displaystyle sum i j k dots 1 n varepsilon ijk dots varepsilon ijk dots n 從以下事實可得出 每個排列是偶排列或奇排列 1 2 1 2 1 displaystyle 1 2 1 2 1 與 任何n 元素集合的排列數正好是n displaystyle n 乘積 编辑 一般來說 對於n 維 兩個列維 奇維塔符號的乘積可以寫成 e i 1 i 2 i n e j 1 j 2 j n d i 1 j 1 d i 1 j 2 d i 1 j n d i 2 j 1 d i 2 j 2 d i 2 j n d i n j 1 d i n j 2 d i n j n displaystyle varepsilon i 1 i 2 dots i n varepsilon j 1 j 2 dots j n begin vmatrix delta i 1 j 1 amp delta i 1 j 2 amp dots amp delta i 1 j n delta i 2 j 1 amp delta i 2 j 2 amp dots amp delta i 2 j n vdots amp vdots amp ddots amp vdots delta i n j 1 amp delta i n j 2 amp dots amp delta i n j n end vmatrix 證明 编辑 取自 https zh wikipedia org w index php title 列維 奇維塔符號 amp oldid 73036040, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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