分数小波变换

分数小波变换（Fractional wavelet transform，缩写：FRWT）是传统小波变换（Wavelet transform）的推广。该变换的提出改进了了小波变换和分数傅里叶变换的局限性。分数小波变换继承了传统小波变换的多分辨率特性，同时，类似于分数傅里叶变换，可以表示分数阶域的信号特征。

定义

分数傅里叶变换（FRFT）^[1]是傅里叶变换（FT）的推广，它在光学、通信、信号和图像处理方面是一个强有力的分析工具。^[2]然而，由于分数傅里叶变换使用全局核函数，它只强调了存在某些成分，而没有说明这些成分的时间定位。因此，对非平稳信号进行FRFT频谱分析时需要在时间-FRFT域进行联合分析。

对FRFT的一个修改时短时分数傅里叶变换（STFRFT）。^[3][4]STFRFT的思想时使用具有时间局域性的窗函数将信号分段，然后对每一段进行FRFT频谱分析。STFRFT可以在时间-FRFT域进行联合分析，然而，由于窗函数的长度是预先固定的，STFRFT并不能在时间域和FRFT域均提供良好的分辨率。换而言之，STFRFT的分辨率受到不确定性原理的约束^[5]，即窄窗具有较好的时间分辨率和较差的FRFT谱分辨率；宽窗具有较好的FRFT谱分辨率和较差的时间分辨率。然而多数实际信号高频成分持续时间较短，而低频成分持续时间较长。

Mendlovic和David推广了小波变换，提出了分数小波变换（FRWT）。^[6]

FRWT被定义为FRFT和小波变换（WT）的级联，即：

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{\alpha }(a,b)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} }{\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)dtdu\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\left(\int \limits _{\mathbb {R} }f(t){\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)dt\right)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F_{\alpha }(u)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\\end{aligned}}}$ 

其中，变换的核函数${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)}$ 为：

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)={\begin{cases}A_{\alpha }e^{j{\frac {u^{2}+t^{2}}{2}}\cot \alpha -jut\csc \alpha },&\alpha \neq k\pi \\\delta (t-u),&\alpha =2k\pi \\\delta (t+u),&\alpha =(2k-1)\pi \\\end{cases}}}$ 

其中${\displaystyle A_{\alpha }={\sqrt {{(1-j\cot \alpha )}/{2\pi }}}}$ ，${\displaystyle F_{\alpha }(u)}$ 表示${\displaystyle f(t)}$ 的FRFT。然而，由于时间信号在变换中丢失，这并不是时间-FRFT联合分布。

此外，Prasad和Mahato将信号和母小波的FRFT来表达信号的WT，并称这种表达为FRWT。^[7]即：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W_{\psi }^{\alpha }f\right)(b,a)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {t-b}{a}}\right)dt\\&={\frac {\csc \alpha }{4\pi ^{2}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F(u\sin \alpha )\Psi ^{\ast }(au\sin \alpha )e^{j{\frac {u^{2}}{4}}(1-a^{2})\sin 2\alpha -jbu}du\\\end{aligned}}}$ 

其中${\displaystyle F(u\sin \alpha )}$ 和${\displaystyle \Psi (u\sin \alpha )}$ 表示${\displaystyle f(t)}$ 和${\displaystyle \psi (t)}$ 的傅里叶变换（参数缩放了${\displaystyle \sin \alpha }$ 倍）。显然，这种所谓的FRWT与普通WT是相同的。

最近， Shi等人通过引入与FRFT有关的分数卷积^[8]提出了新的关于FRWT的定义。^[9]任意平方可积函数${\displaystyle f(t)\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ 的FRFT定义为：

${\displaystyle W_{f}^{\alpha }(a,b)={\mathcal {W}}^{\alpha }[f(t)](a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi _{\alpha ,a,b}^{\ast }(t)\,dt}$ 

其中${\displaystyle \psi _{\alpha ,a,b}(t)}$ 是对母小波${\displaystyle \psi (t)}$ 的Chirp调制和连续仿射变换，即：

${\displaystyle \psi _{\alpha ,a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)e^{-j{\frac {t^{2}-b^{2}}{2}}\cot \alpha }}$ 

其中，${\displaystyle a\in \mathbb {R^{+}} }$ 是尺度参数；${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ 是位移参数。对应的逆FRWT变换为：

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi C_{\psi }}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} ^{+}}W_{f}^{\alpha }(a,b)\psi _{\alpha ,a,b}(t){\frac {da}{a^{2}}}db}$ 

其中${\displaystyle C_{\psi }}$ 是与选用的小波相关的常数，该常数决定了重建能否进行，即容许性条件（Admissibility condition）：

${\displaystyle C_{\psi }=\int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {|\Psi (\Omega )|^{2}}{|\Omega |}}\,d\Omega <\infty }$ 

其中${\displaystyle \Psi (\Omega )}$ 表示${\displaystyle \psi (t)}$ 的傅里叶变换。容许性条件表明${\displaystyle \Psi (0)=0}$ ，即${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi (t)dt=0}$ 。因此，连续分数小波必须表现出震荡的性质，并在分数傅里叶域中体现出带通滤波器的特性。从这点来看，${\displaystyle f(t)}$ 的FRWT变换可以用FRFT域来表示，即：

${\displaystyle W_{f}^{\alpha }(a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }{{\sqrt {2\pi a}}F_{\alpha }(u)\Psi ^{\ast }(au\csc \alpha )}{\mathcal {K}}_{\alpha }^{\ast }(u,b)du}$ 

其中${\displaystyle F_{\alpha }(u)}$ 表示对${\displaystyle f(t)}$ 的FRFT，${\displaystyle \Psi (u\csc \alpha )}$ 表示${\displaystyle \psi (t)}$ 的傅里叶变换（参数缩放了${\displaystyle \csc \alpha }$ 倍）。当${\displaystyle \alpha ={\pi }/{2}}$ 时，FRWT退化为传统的小波变换。文献^[9][10]对此类FRWT进行了深入的讨论。

分数小波变换的多分辨分析（MRA）

该文^[11]概述了分数小波变换及其多分辨分析。

参考文献

1. H. M. Ozaktas, Z. Zalevsky, and M. A. Kutay, The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing. Wiley, New York, 2000.
2. E. Sejdic, I. Djurovic, and L. Stankovic, "Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments," Signal Process., vol. 91, pp. 1351--1369, 2011.
3. L. Stankovic, T. Alieva, and M. J. Bastiaans, "Time-frequency signal analysis based on the windowed fractional Fourier transform,"Signal Process., vol. 83, pp. 2459--2468, 2003.
4. R. Tao, Y. Lei, and Y. Wang, "Short-time fractional Fourier transform and its applications," IEEE Trans. Signal Process., vol. 58, pp. 2568--2580, 2010.
5. J. Shi, X.-P. Liu, and N.-T. Zhang, "On uncertainty principle for signal concentrations with fractional Fourier transform," Signal Process., vol. 92, pp. 2830--2836, 2012.
6. D. Mendlovic, Z. Zalevsky, D. Mas, J. Garcia, and C. Ferreira, "Fractional wavelet transform," Appl. Opt., vol. 36, pp. 4801--4806, 1997.
7. A. Prasad and A. Mahato, "The fractional wavelet transform on spaces of type S," Integral Transform Spec. Funct., vol. 23, no. 4, pp. 237--249, 2012.
8. Shi, J.; Chi, Y.-G.; Zhang, N.-T. Multichannel sampling and reconstruction of bandlimited signals in fractional Fourier domain. IEEE Signal Process. Lett. 2010, 17 (11): 909–912. Bibcode:2010ISPL...17..909S. S2CID 17547603. doi:10.1109/lsp.2010.2071383. 
9. Shi, J.; Zhang, N.-T.; Liu, X.-P. A novel fractional wavelet transform and its applications. Sci. China Inf. Sci. 2011, 55 (6): 1270–1279. doi:10.1007/s11432-011-4320-x  . 
10. Wavelet Transforms and Their Applications. Wavelet Transforms and Their Applications. [2023-02-28]. doi:10.1007/978-0-8176-8418-1. （原始内容于2023-02-28） （英语）. 
11. Shi, J.; Liu, X.-P.; Zhang, N.-T. Multiresolution analysis and orthogonal wavelets associated with fractional wavelet transform. Signal, Image, Video Process. 2015, 9 (1): 211–220. S2CID 3807003. doi:10.1007/s11760-013-0498-2.