冯诺依曼稳定性分析

数值分析中, 冯诺依曼稳定性分析 (亦作傅立叶稳定性分析) 用于验证计算线性偏微分方程时使用特定有限差分法的数值稳定性^[1]，该分析方法基于对数值误差的傅立叶分解。1947年英国研究人员約翰·克蘭克和菲利斯·尼科爾森在文章中对该方法进行了简要介绍^[2]， 尔后又出现在冯诺依曼合作的文章中 ^[3] 。 洛斯阿拉莫斯国家实验室对该方法进行了进一步发展。

数值稳定性

数值稳定性与数值误差密切相关。使用有限差分方法进行计算时，若任意时间步的误差不会导致其后计算结果的发散，则可称该有限差分法是数值稳定的。如果误差随着进一步计算降低最终消失，该算法被认为稳定；若误差在进计算中保持为常量，则认为该算法“中性稳定”。但如果误差随着进一步计算增长，结果发散，则数值方法不稳定。数值方法的稳定性可以通过冯诺依曼稳定性分析得到验证。稳定性一般不易分析，特别是针对非线性偏微分方程。

冯诺依曼稳定性方法只适用于满足 Lax–Richtmyer 条件 （Lax 等价定理） 的某些特殊差分法： 偏微分方程系统须线性，常系数，满足周期性边界条件，只有两个独立变量，差分法中最多含两层时间步^[4]。 由于相对简单，人们常使用冯诺依曼稳定性分析代替其他更为详细的稳定性分析，用以估计差分方法中对容许步长的限制。

方法描述

冯诺依曼误差分析将误差分解为傅立叶级数。为了描述此过程，考虑一维热传导方程

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$ 

空间网格间隔为 ${\displaystyle L}$ , 对网格作 FTCS （Forward-Time Central-Space，时间步前向欧拉法，空间步三点中心差分) 离散处理，

${\displaystyle \quad (1)\qquad u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+r\left(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\right)}$ 

其中 ${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}}$  。${\displaystyle u_{j}^{n}}$  为离散网格上的数值解，用于近似此偏微分方程的精确解 ${\displaystyle u(x,t)}$  。

定义舍入误差 ${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}}$  。 其中 ${\displaystyle u_{j}^{n}}$  是离散方程 (1) 式的精确解，${\displaystyle N_{j}^{n}}$  为包含有限浮点精度的数值解。 因为精确解 ${\displaystyle u_{j}^{n}}$  满足离散方程, 误差 ${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$  亦满足离散方程 ^[5]：

${\displaystyle \quad (2)\qquad \epsilon _{j}^{n+1}=\epsilon _{j}^{n}+r\left(\epsilon _{j+1}^{n}-2\epsilon _{j}^{n}+\epsilon _{j-1}^{n}\right)}$ 

此式将确定误差的递推关系。方程 (1) 和 (2) 中，误差和数值解随时间具有一致的变化趋势。对于含周期性边界条件的线性微分方程，间隔 ${\displaystyle L}$  上的空间部分误差可展开为傅立叶级数

${\displaystyle \quad (3)\qquad \epsilon (x)=\sum _{m=1}^{M}A_{m}e^{ik_{m}x}}$ 

其中波数 ${\displaystyle k_{m}={\frac {\pi m}{L}}}$ ，${\displaystyle m=1,2,\ldots ,M}$ ， ${\displaystyle M=L/\Delta x}$ 。 通过假设误差幅度 ${\displaystyle A_{m}}$  是时间的函数，可以给出误差和时间的关系。 不难知单步中，误差随时间指数增长，因此 (3) 式可以写作

${\displaystyle \quad (4)\qquad \epsilon (x,t)=\sum _{m=1}^{M}e^{at}e^{ik_{m}x}}$ 

其中 ${\displaystyle a}$  为常量。

由于误差所满足的差分方程是线性的（级数每一项的行为与整个级数一致），只估计一项的误差变化便足以估计整体趋势：

${\displaystyle \quad (5)\qquad \epsilon _{m}(x,t)=e^{at}e^{ik_{m}x}.}$ 

为找出误差随时间步的变化, 将方程 (5) 式应用于离散后的误差表达式上

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{j}^{n}&=e^{at}e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j}^{n+1}&=e^{a(t+\Delta t)}e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j+1}^{n}&=e^{at}e^{ik_{m}(x+\Delta x)}\\\epsilon _{j-1}^{n}&=e^{at}e^{ik_{m}(x-\Delta x)},\end{aligned}}}$ 

再代入到 (2) 式中，求解方程后可得

${\displaystyle \quad (6)\qquad e^{a\Delta t}=1+{\frac {\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\left(e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}-2\right).}$ 

使用已知的指数三角关系式

${\displaystyle \qquad \cos(k_{m}\Delta x)={\frac {e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}}{2}}}$  和 ${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {k_{m}\Delta x}{2}}={\frac {1-\cos(k_{m}\Delta x)}{2}}}$ 

可以将方程 (6) 变作

${\displaystyle \quad (7)\qquad e^{a\Delta t}=1-{\frac {4\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\sin ^{2}(k_{m}\Delta x/2).}$ 

定义涨幅因子

${\displaystyle G\equiv {\frac {\epsilon _{j}^{n+1}}{\epsilon _{j}^{n}}},}$ 

则误差有限的充要条件为 ${\displaystyle \vert G\vert \leq 1}$  。 已知

${\displaystyle \quad (8)\qquad G={\frac {e^{a(t+\Delta t)}e^{ik_{m}x}}{e^{at}e^{ik_{m}x}}}=e^{a\Delta t},}$ 

联立 (7) 和 (8) 两式，易得稳定性条件为

${\displaystyle \quad (9)\qquad \left\vert 1-{\frac {4\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\sin ^{2}(k_{m}\Delta x/2)\right\vert \leq 1}$ 

即

${\displaystyle \quad (10)\qquad {\frac {\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}.}$ 

(10) 即为该算法的稳定性条件。 对于 FTCS 求解一维热传导方程，给定 ${\displaystyle \Delta x}$  ， 所允许的 ${\displaystyle \Delta t}$  取值需要足够小以满足 (10) ，才能保证计算的数值稳定。

參考資料

1. Analysis of Numerical Methods by E. Isaacson, H. B. Keller. [2011-05-20]. （原始内容于2011-05-21）. 
2. Crank, J.; Nicolson, P., A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of Heat Conduction Type, Proc. Camb. Phil. Soc., 1947, 43: 50–67, doi:10.1007/BF02127704 
3. Charney, J. G.; Fjørtoft, R.; von Neumann, J., Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation, Tellus, 1950, 2: 237–254 
4. Smith, G. D., Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, 3rd ed.: 67–68, 1985 
5. Anderson, J. D., Jr. Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications. McGraw Hill. 1994.