内测度

在测度论中，内测度是定义在某个给定的集合的幂集上的一个函数，满足一些限制。内测度可以直观地理解为一个集合大小的下界。

定义

内测度是一个对某个集合X的所有子集有定义的一个函数

${\displaystyle \varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ],}$ 

满足下列条件:

• 空集: 空集的内测度为 0。

${\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}$ 

• 超加性：对两个交集为空的集合A和B，有

${\displaystyle \varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B).}$ 

• 集合降链的极限：对一个集合序列${\displaystyle A_{j}}$ ，若对于所有的j满足${\displaystyle A_{j}\supseteq A_{j+1}}$ ，且${\displaystyle \varphi (A_{1})<\infty }$ ，则

${\displaystyle \varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})}$ 

• 若集合A满足${\displaystyle \varphi (A)=\infty }$ ，则对所有正数c, 存在A的一个子集B，使得

${\displaystyle c\leq \varphi (B)<\infty }$ 

参考

• Halmos, Paul R., Measure Theory, D. Van Nostrand Company, Inc., 1950, pp. 58.
• A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, translated by Richard A. Silverman, Introductory Real Analysis, Dover Publications, New York, 1970, ISBN 0-486-61226-0 (Ch. 7)