克拉莫-克若尼關係式

克喇末-克勒尼希關係式（英語：Kramers–Kronig relations）是數學上連結複面上半可析函數實部和虚部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末為名。

公式定義

給定一複數變數${\displaystyle \omega }$ 的複值函數${\displaystyle {\chi (\omega )}=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )}$ ，其中${\displaystyle \chi _{1}}$ 和${\displaystyle \chi _{2}}$ 是實值函數。假設此函數${\displaystyle \chi (\omega )}$ 在複數平面上半部可析，且當${\displaystyle |\omega |}$ 趨向無限大时，它在上半平面趋于零的速度比${\displaystyle 1/|\omega |}$ 快或與之相等，那么${\displaystyle \chi (\omega )}$ 满足以下關係：

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '}$ 

和

${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',}$ 

其中${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 表示柯西主值。因此可析函數的實部和虚部并不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。

推導

推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數${\displaystyle \chi (\omega ^{\prime })}$ 和實數${\displaystyle \omega }$ 函數${\displaystyle {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}}$ 在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑：

 

克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。

${\displaystyle \oint {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}d\omega ^{\prime }=0}$ 

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和${\displaystyle |\omega |}$ 成正比，因此只要${\displaystyle \chi (\omega ^{\prime })}$ 消失比${\displaystyle {1}/{\omega ^{\prime }}}$ 快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓：

${\displaystyle \oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega )=0.}$ 

以上第二項留數定理^[1]的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式：

${\displaystyle \chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.}$ 

分母裡的虚數${\displaystyle i}$ 意味者這是連系實部和虚部的公式。把${\displaystyle \chi (\omega )}$ 分解成實部和虚部可輕易得到更早的公式。

物理理解

可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数${\displaystyle \chi (t-t^{\prime })}$ 概括系統對在時間${\displaystyle t^{\prime }}$ 的作用力${\displaystyle F(t^{\prime })}$ 在另一時間${\displaystyle t}$ 的反應${\displaystyle P(t)}$ ：

${\displaystyle P(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t-t^{\prime })F(t^{\prime })dt^{\prime }}$ 

因為系統不能在施力前有任何反應因此當${\displaystyle t^{\prime }>t}$ ，${\displaystyle \chi (t-t^{\prime })=0}$ 。 可以證明這因果關係意味着${\displaystyle \chi (\tau )}$ 的傅立葉變換${\displaystyle \chi (\omega )}$ 在${\displaystyle \omega }$ 複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉换太快而系統不能即時做出反應，因此${\displaystyle \omega }$ 很大時，${\displaystyle \chi (\omega )}$ 會趨近於0。從這些物理考量，可知物理反應函數${\displaystyle \chi (\omega )}$ 通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數${\displaystyle \chi (\omega )}$ 的虚部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。

上述函数的积分路径是从${\displaystyle -\infty }$ 到${\displaystyle \infty }$ ，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为${\displaystyle \chi (\omega )}$ 是实数变量${\displaystyle \chi (t-t')}$ 的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质，${\displaystyle \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )}$ ，${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ 是频率${\displaystyle \omega }$ 的偶函数，而${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ 是${\displaystyle \omega }$ 的奇函数。

根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为${\displaystyle [0,\infty )}$ 的区间上。考虑实部${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ 的第一个关系，积分函数上下同乘${\displaystyle \omega '+\omega }$ 可得：

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '+{\frac {\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}{\mathcal {\int }}_{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.}$ 

由于${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ 为奇函数，第二项为零，剩下的部分为

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.}$ 

类似的推导亦可用于虚部：

${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '=-{\frac {2\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.}$ 

该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。

參考文献

1. G. Arfken. Mathematical Methods for Physicists. Orlando: Academic Press. 1985. ISBN 0120598779.