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克萊姆法則

克萊姆法則克拉瑪公式(英語:Cramer's rule / formula)是一個線性代數中的定理,用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在計算上,並非最有效率之法,因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過,這一定理在理論性方面十分有效。

线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

基本方程

一個線性方程組可以用矩陣向量的方程來表示:

 

其中的 是一个 方塊矩陣,而向量   是一个长度为n行向量(中國大陸為列向量)。  也一样。

克莱姆法则说明:如果 是一个可逆矩陣  ),那么方程(1)有解  ,其中

  (1)

当中 是列向量 的第i行(行向量与列向量不一样,解释默认列向量)

當中 是列向量 取代了 的第i列后得到的矩阵。為了方便,我們通常使用 來表示 ,用 來表示 。所以等式(1)可以寫成為:

 

抽象方程

 為一個環, 就是一個包含 的系數的 矩陣。所以:

 

當中 就是 的行列式,以及 就是單位矩陣

證明概要

对于 元线性方程组  

把系数矩阵   表示成行向量的形式

 

由于系数矩阵可逆,故方程组一定有解 .

 ,即

 

考虑 的值,利用行列式線性和交替性質,有

 

于是

 

例子

运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知:

 
 

使用矩陣來表示時就是:

 

当矩阵可逆时,x和y可以從克萊姆法則中得出:

 
以及
 

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知:

 
 
 

當中的矩陣表示為:

 

当矩阵可逆时,可以求出x、y和z:

 、       以及    

微分幾何上的應用

克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式  。其中的u和v是需要考虑的变量,并且它们互不相关。我們可定義  

找出一條等式適合 是克萊姆法則的簡單應用。

首先,我們要計算    的導數:

 
 
 
 

  代入  ,可得出:

 
 

因為  互不相关,所以  的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成:

 
 
 
 

現在用克萊姆法則就可得到:

 

用兩個雅可比矩陣來表示的方程:

 

用類似的方法就可以找到  以及 

基本代數上的應用

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理,當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

參考文獻

外部链接

克萊姆法則, 此條目需要补充更多来源, 2022年11月21日, 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的内容可能會因為异议提出而移除, 致使用者, 请搜索一下条目的标题, 来源搜索, 网页, 新闻, 书籍, 学术, 图像, 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源, 判定指引, 或克拉瑪公式, 英語, cramer, rule, formula, 是一個線性代數中的定理, 用行列式來計算出線性等式組中的所有解, 這個定理因加百列, 克萊姆, 1704年, 1752年, 的卓越使用而命名, 在計算上, . 此條目需要补充更多来源 2022年11月21日 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目 无法查证的内容可能會因為异议提出而移除 致使用者 请搜索一下条目的标题 来源搜索 克萊姆法則 网页 新闻 书籍 学术 图像 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源 判定指引 克萊姆法則或克拉瑪公式 英語 Cramer s rule formula 是一個線性代數中的定理 用行列式來計算出線性等式組中的所有解 這個定理因加百列 克萊姆 1704年 1752年 的卓越使用而命名 在計算上 並非最有效率之法 因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用 不過 這一定理在理論性方面十分有效 线性代数A 1 2 3 4 displaystyle mathbf A begin bmatrix 1 amp 2 3 amp 4 end bmatrix 向量 向量空间 行列式 矩阵向量标量 向量 向量空间 向量投影 外积 向量积 内积 数量积 矩阵与行列式矩阵 行列式 线性方程组 秩 核 迹 單位矩陣 初等矩阵 方块矩阵 分块矩阵 三角矩阵 非奇异方阵 转置矩阵 逆矩阵 对角矩阵 可对角化矩阵 对称矩阵 反对称矩阵 正交矩阵 幺正矩阵 埃尔米特矩阵 反埃尔米特矩阵 正规矩阵 伴随矩阵 余因子矩阵 共轭转置 正定矩阵 幂零矩阵 矩阵分解 LU分解 奇异值分解 QR分解 极分解 特征分解 子式和余子式 拉普拉斯展開 克罗内克积线性空间与线性变换线性空间 线性变换 线性子空间 线性生成空间 基 线性映射 线性投影 线性无关 线性组合 线性泛函 行空间与列空间 对偶空间 正交 特征向量 最小二乘法 格拉姆 施密特正交化查论编 目录 1 基本方程 2 抽象方程 3 證明概要 4 例子 4 1 微分幾何上的應用 4 2 基本代數上的應用 4 3 線性規劃上的應用 5 參考文獻 6 外部链接基本方程 编辑一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示 A x c 1 displaystyle Ax c qquad qquad qquad qquad qquad qquad 1 其中的A displaystyle A 是一个n n displaystyle n times n 的方塊矩陣 而向量 x x 1 x 2 x n T displaystyle x x 1 x 2 cdots x n T 是一个长度为n的行向量 中國大陸為列向量 c c 1 c 2 c n T displaystyle c c 1 c 2 cdots c n T 也一样 克莱姆法则说明 如果A displaystyle A 是一个可逆矩陣 det A 0 displaystyle det A neq 0 那么方程 1 有解 x x 1 x 2 x n T displaystyle x x 1 x 2 cdots x n T 其中x i det A i det A displaystyle x i det A i over det A 1 当中x i displaystyle x i 是列向量x displaystyle x 的第i行 行向量与列向量不一样 解释默认列向量 當中A i displaystyle A i 是列向量c displaystyle c 取代了A displaystyle A 的第i列后得到的矩阵 為了方便 我們通常使用D displaystyle Delta 來表示det A displaystyle det A 用D i displaystyle Delta i 來表示det A i displaystyle det A i 所以等式 1 可以寫成為 x i D i D displaystyle x i Delta i over Delta 抽象方程 编辑更多信息 餘因子矩陣 設R displaystyle R 為一個環 A displaystyle A 就是一個包含R displaystyle R 的系數的n n displaystyle n times n 矩陣 所以 a d j A A d e t A I displaystyle mathrm adj A A mathrm det A I 當中det A displaystyle det A 就是A displaystyle A 的行列式 以及I displaystyle I 就是單位矩陣 證明概要 编辑对于n displaystyle n 元线性方程组 A x c displaystyle Ax c 把系数矩阵 A displaystyle begin smallmatrix A end smallmatrix 表示成行向量的形式A u 1 u 2 u n displaystyle A left u 1 u 2 cdots u n right 由于系数矩阵可逆 故方程组一定有解x A 1 c displaystyle x A 1 c 设x x 1 x 2 x n T displaystyle x x 1 x 2 cdots x n T 即A x k 1 n x k u k c displaystyle Ax sum k 1 n x k u k c 考虑D i displaystyle Delta i 的值 利用行列式的線性和交替性質 有D i d e t u i 1 c u i 1 d e t u i 1 k 1 n x k u k u i 1 k 1 n x k d e t u i 1 u k u i 1 x i d e t u i 1 u i u i 1 x i D displaystyle begin aligned Delta i amp det left cdots u i 1 c u i 1 cdots right amp det left cdots u i 1 sum k 1 n x k u k u i 1 cdots right amp sum k 1 n x k cdot det left cdots u i 1 u k u i 1 cdots right amp x i cdot det left cdots u i 1 u i u i 1 cdots right amp x i Delta end aligned 于是x i D i D displaystyle x i frac Delta i Delta 例子 编辑运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组 已知 a x b y e displaystyle ax by color red e c x d y f displaystyle cx dy color red f 使用矩陣來表示時就是 a b c d x y e f displaystyle begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix begin bmatrix x y end bmatrix begin bmatrix color red e color red f end bmatrix 当矩阵可逆时 x和y可以從克萊姆法則中得出 x e b f d a b c d e d b f a d b c displaystyle x frac begin vmatrix color red e amp b color red f amp d end vmatrix begin vmatrix a amp b c amp d end vmatrix color red e d b color red f over ad bc 以及 y a e c f a b c d a f e c a d b c displaystyle y frac begin vmatrix a amp color red e c amp color red f end vmatrix begin vmatrix a amp b c amp d end vmatrix a color red f color red e c over ad bc 用3 3矩陣的情況亦差不多 已知 a x b y c z j displaystyle ax by cz color red j d x e y f z k displaystyle dx ey fz color red k g x h y i z l displaystyle gx hy iz color red l 當中的矩陣表示為 a b c d e f g h i x y z j k l displaystyle begin bmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end bmatrix begin bmatrix x y z end bmatrix begin bmatrix color red j color red k color red l end bmatrix 当矩阵可逆时 可以求出x y和z x j b c k e f l h i a b c d e f g h i displaystyle x frac begin vmatrix color red j amp b amp c color red k amp e amp f color red l amp h amp i end vmatrix begin vmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end vmatrix y a j c d k f g l i a b c d e f g h i displaystyle y frac begin vmatrix a amp color red j amp c d amp color red k amp f g amp color red l amp i end vmatrix begin vmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end vmatrix 以及 z a b j d e k g h l a b c d e f g h i displaystyle z frac begin vmatrix a amp b amp color red j d amp e amp color red k g amp h amp color red l end vmatrix begin vmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end vmatrix 微分幾何上的應用 编辑 克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用 先考慮兩條等式F x y u v 0 displaystyle F x y u v 0 和G x y u v 0 displaystyle G x y u v 0 其中的u和v是需要考虑的变量 并且它们互不相关 我們可定義x X u v displaystyle x X u v 和y Y u v displaystyle y Y u v 找出一條等式適合 x u displaystyle partial x partial u 是克萊姆法則的簡單應用 首先 我們要計算F displaystyle F G displaystyle G x displaystyle x 和y displaystyle y 的導數 d F F x d x F y d y F u d u F v d v 0 displaystyle dF frac partial F partial x dx frac partial F partial y dy frac partial F partial u du frac partial F partial v dv 0 d G G x d x G y d y G u d u G v d v 0 displaystyle dG frac partial G partial x dx frac partial G partial y dy frac partial G partial u du frac partial G partial v dv 0 d x X u d u X v d v displaystyle dx frac partial X partial u du frac partial X partial v dv d y Y u d u Y v d v displaystyle dy frac partial Y partial u du frac partial Y partial v dv 將d x displaystyle dx 和d y displaystyle dy 代入d F displaystyle dF 和d G displaystyle dG 可得出 d F F x x u F y y u F u d u F x x v F y y v F v d v 0 displaystyle dF left frac partial F partial x frac partial x partial u frac partial F partial y frac partial y partial u frac partial F partial u right du left frac partial F partial x frac partial x partial v frac partial F partial y frac partial y partial v frac partial F partial v right dv 0 d G G x x u G y y u G u d u G x x v G y y v G v d v 0 displaystyle dG left frac partial G partial x frac partial x partial u frac partial G partial y frac partial y partial u frac partial G partial u right du left frac partial G partial x frac partial x partial v frac partial G partial y frac partial y partial v frac partial G partial v right dv 0 因為u displaystyle u 和v displaystyle v 互不相关 所以d u displaystyle du 和d v displaystyle dv 的系數都要等於0 所以等式中的系數可以被寫成 F x x u F y y u F u displaystyle frac partial F partial x frac partial x partial u frac partial F partial y frac partial y partial u frac partial F partial u G x x u G y y u G u displaystyle frac partial G partial x frac partial x partial u frac partial G partial y frac partial y partial u frac partial G partial u F x x v F y y v F v displaystyle frac partial F partial x frac partial x partial v frac partial F partial y frac partial y partial v frac partial F partial v G x x v G y y v G v displaystyle frac partial G partial x frac partial x partial v frac partial G partial y frac partial y partial v frac partial G partial v 現在用克萊姆法則就可得到 x u F u F y G u G y F x F y G x G y displaystyle cfrac partial x partial u cfrac begin vmatrix cfrac partial F partial u amp cfrac partial F partial y cfrac partial G partial u amp cfrac partial G partial y end vmatrix begin vmatrix cfrac partial F partial x amp cfrac partial F partial y cfrac partial G partial x amp cfrac partial G partial y end vmatrix 用兩個雅可比矩陣來表示的方程 x u F G y u F G x y displaystyle cfrac partial x partial u cfrac left cfrac partial left F G right partial left y u right right left cfrac partial left F G right partial left x y right right 用類似的方法就可以找到 x v displaystyle frac partial x partial v y u displaystyle frac partial y partial u 以及 y v displaystyle frac partial y partial v 基本代數上的應用 编辑 克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理 當中的定理對環理論十分有用 線性規劃上的應用 编辑 克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解 這樣使得線性規劃的問題更容易被解決 參考文獻 编辑外部链接 编辑Online calculator to solve a system of ecuations using the Cramer s Rule Systems Solver 取自 https zh wikipedia org w index php title 克萊姆法則 amp oldid 76170230, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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