克拉克森不等式

數學的克拉克森不等式是L^p空間上的一個結果，用兩個可測函數的L^p範數，來表示它們的和及差的L^p範數的上界。這不等式是平行四邊形恆等式的一個推廣。

不等式敘述

設${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 是測度空間，${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$ 是在${\displaystyle L^{p}(X)}$ 空間內的可測函數。當${\displaystyle 2\leq p<+\infty }$ 時，有

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)}$ ；

當${\displaystyle 1<p<2}$ 時，有

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}}}$ ，

其中${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ ，即${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}}$ 。

${\displaystyle p>2}$ 的情形較易證明，可以簡單地用三角不等式和函數

${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ 

的凸性證出。

外部連結

• Clarkson inequality at PlanetMath.