佩特諾-伊曼-道格拉斯定理

佩特-諾伊曼-道格拉斯定理（Petr–Douglas–Neumann theorem）也稱為PDN定理，是幾何學中有關平面多邊形的定理。此定理證明，對於任何多邊形，都可以依定理中的作法找到一正多邊形，其邊數恰和原來的多邊形相同。佩特諾-伊曼-道格拉斯定理最早是由卡瑞爾·佩特諾（英语：Karel Petr）（1868–1950）1908年在布拉格提出^[1][2]。1940年及1941年時也分別被傑西·道格拉斯（1897–1965）^[3]和伯恩哈德·诺伊曼（英语：Bernhard Neumann）（1909–2002）^[2][4]獨立證明。此定理由Stephen B Gray命名為佩特-諾伊曼-道格拉斯定理，或簡稱為PDN定理^[2]，有時也被稱為道格拉斯定理、道格拉斯-諾伊曼定理、諾伊曼-道格拉斯-佩特定理或佩特定理^[2]。

定理敘述

佩特-諾伊曼-道格拉斯定理的敘述如下^[3][5]

若一任意的n邊形A₀，每邊上往外畫頂角為2kπ/n（1 ≤ k ≤ n − 2）的等腰三角形，再針對各等腰三角形的頂角形成的n邊形再進行類似的作法，但需用不同的數字k，一直用到用完所有滿足1 ≤ k ≤ n − 2的數值為止（可以不依大小順序），最後形成的n邊形A_n−2會是正多邊形，且其形心和原n邊形A₀的形心重合。

應用在三角形中的特例

 

拿破崙定理是佩特諾-伊曼-道格拉斯定理的特例

在三角形的情形下，n為3，而n −2為1。因此只存在一個可能的k值，也就是1。此定理應用在三角形時，三角形A₁為正三角形。

A₁是由三角形A₀的每一邊往外畫頂角為2π/3的等腰三角形，其頂點連線而成的三角形。三角形A₁ 的頂點也就是三角形A₀的每一邊往外畫正三角形的重心。因此佩特-諾伊曼-道格拉斯定理應用在三角形中的特例可以表示如下：

若任意三角形的三邊往外畫正三角形，三個正三角形的重心形成的三角形也會是正三角形

上述的敘述也就是拿破崙定理。

參考資料

1. K. Petr. Ein Satz ¨uber Vielecke. Arch. Math. Physik. 1908, 13: 29–31. 
2. Stephen B. Gray. Generalizing the Petr–Douglas–Neumann Theorem on n-gons (PDF). American Mathematical Monthly: 210–227. [8 May 2012]. （原始内容 (PDF)于2018-07-21）. 
3. Douglas, Jesse. On linear polygon transformations (PDF). Bulletin of American Mathematical Society. 1946, 46 (6) [7 May 2012]. （原始内容 (PDF)于2020-10-28）. 
4. B H Neumann. Some remarks on polygons. Journal of London Mathematical Society. 1941, s1–16 (4): 230–245 [7 May 2012]. （原始内容于2016-12-24）. 
5. Weisstein, Eric W. (编). Petr–Neumann–Douglas Theorem.. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [8 May 2012]. （原始内容于2020-03-18） （英语）.