伴随向量映射原理

伴随向量映射原理（covector mapping principle）是泛函分析的基礎定理里斯表示定理中的一個特例。名稱是由Ross（英语：I. Michael Ross）和其工作夥伴所命名^{[1][2][3][4][5][6]}。伴随向量映射原理提供了運算型最优控制中，可以將离散化和對偶性（dualization）交換順序的條件。

說明

假設要將庞特里亚金最大化原理應用在問題${\displaystyle B}$ ，會從給定的最佳控制問題產生一個边值问题。依照Ross的論點，此边值问题是庞特里亚金提昇（Pontryagin lift），表示為問題${\displaystyle B^{\lambda }}$ 。

現在要離散化問題${\displaystyle B^{\lambda }}$ ，這會產生問題${\displaystyle B^{\lambda N}}$ ，其中${\displaystyle N}$  表示離散化的點數。為了方便起見，有需要證明下式成立：

${\displaystyle N\to \infty ,\quad {\text{Problem }}B^{\lambda N}\to {\text{Problem }}B^{\lambda }}$ 

在1960年代Kalman等人^[7]就已證明要求解${\displaystyle B^{\lambda N}}$ 會非常的困難。此困難性稱之為「複雜度咒詛」（curse of complexity）^[8]，是「維度咒詛」（dimensionality）的互補。

在1990年代開始的一系列論文中，Ross和Fahroo證明有更簡單求解問題${\displaystyle B^{\lambda }}$ （因此也包括問題${\displaystyle B}$ ）的方法，作法是先進行離散化（問題${\displaystyle B^{N}}$ ）再進行對偶（問題${\displaystyle B^{N\lambda }}$ ）。此作法需要很小心的進行，以確保解的一致性及收斂。伴随向量映射原理確保可以找到一個伴随向量的映射律，將問題${\displaystyle B^{N\lambda }}$ 的解映射到問題${\displaystyle B^{\lambda N}}$ 的解。

相關條目

• 勒壤得擬譜法
• Ross–Fahroo擬譜法
• Ross–Fahroo引理

參考資料

1. Ross, I. M., “A Historical Introduction to the Covector Mapping Principle,” Proceedings of the 2005 AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, August 7–11, 2005 Lake Tahoe, CA. AAS 05-332.
2. Q. Gong, I. M. Ross, W. Kang, F. Fahroo, Connections between the covector mapping theorem and convergence of pseudospectral methods for optimal control, Computational Optimization and Applications, Vol. 41, pp. 307–335, 2008
3. Ross, I. M. and Fahroo, F., “Legendre Pseudospectral Approximations of Optimal Control Problems,” Lecture Notes in Control and Information Sciences, Vol. 295, Springer-Verlag, New York, 2003, pp 327–342.
4. Ross, I. M. and Fahroo, F., “Discrete Verification of Necessary Conditions for Switched Nonlinear Optimal Control Systems,” Proceedings of the American Control Conference, June 2004, Boston, MA
5. Ross, I. M. and Fahroo, F., “A Pseudospectral Transformation of the Covectors of Optimal Control Systems,” Proceedings of the First IFAC Symposium on System Structure and Control, Prague, Czech Republic, 29–31 August 2001.
6. W. Kang, I. M. Ross, Q. Gong, Pseudospectral optimal control and its convergence theorems, Analysis and Design of Nonlinear Control Systems, Springer, pp.109–124, 2008.
7. Bryson, A.E. and Ho, Y.C. Applied optimal control. Hemisphere, Washington, DC, 1969.
8. Ross, I. M. A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control. Collegiate Publishers. Carmel, CA, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.