代數同態

在A和B兩個K-多元環之間的同態是指一個函數${\displaystyle F:A\rightarrow B}$，此函數能使得對所有在K內的k和在A內的x、y來說，

• F(kx) = kF(x)

• F(x + y) = F(x) + F(y)

• F(xy) = F(x)F(y)

若F是双射的，則F稱為是A和B之間的同構。

例子

令A=K[x]為在一個體K上的所有多項式所組成的集合，且B為一個在K上所有多項式函數所組成的集合，則A跟B兩個都會是在K上分別由標準的多項式和函數的乘法及加法所構成的代數。可以將每個在A內的${\displaystyle f\,}$ 以${\displaystyle {\hat {f}}(t)=f(t)\,}$ 的方式映射至於B內的${\displaystyle {\hat {f}}\,}$ 。很簡單便可以知道這個映射${\displaystyle f\rightarrow {\hat {f}}\,}$ 會是一個A和B兩個代數之間的同態。若K是一個有限體的話，則可令

${\displaystyle p(x)=\Pi _{t\in K}(x-t).\,}$ 

其中p是一個在K[x]內的非零多項式。但對所有在K內的t，${\displaystyle p(t)=0\,}$ ，所以其映射${\displaystyle {\hat {p}}=0\,}$ 都會是一個零值函數，這兩個代數因此不會是同構的。

若K是無限的，則令${\displaystyle {\hat {f}}=0\,}$ 。接下來要證明這會使得${\displaystyle f=0\,}$ 。設${\displaystyle deg(f)=n\,}$ 和${\displaystyle t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}\,}$ 為K內n+1個不同的元素，則對${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ 都會有${\displaystyle f(t_{i})=0\,}$ 。再利用拉格朗日插值便能得到${\displaystyle f=0\,}$ 。因此映射${\displaystyle f\rightarrow {\hat {f}}\,}$ 是單射的，故而有一個在A和B之間的同構。