代数拓扑（英語：Algebraic topology）是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。其基本目标是通过寻找拓扑空间的具有代数结构的不变量，从而将拓扑空间分类。
尽管代数拓扑学主要通过代数研究拓扑问题，但有时也可以使用拓扑学知识解决代数问题。例如，代数拓扑学可以方便地证明自由群的任何子群又是一个自由群。
代数拓扑的主要分支 代数拓扑的几个主要分支如下：
同伦群
在数学中，同伦群是一个用于分类拓扑空间。基本群是同伦群最简单的例子，记录了空间中环结的信息。直观上来说，同伦群记录了拓扑空间中的基本形状，即“孔洞”的信息。
同调
在代数拓扑和抽象代数中，同调（homology，名称部分来源于希腊语ὁμός homos = "同"）是一类将一个阿贝尔群或模的序列联系到一个给定数学对象（如拓扑空间、群等）的过程[1]
上同调
在同调论中，上同调是对一个在上链复形（co-chain）上定义一个阿贝尔群的序列的过程的统称。换言之，上同调是对“上链”、餘圈（cocycle）和上边缘（coboundary）的抽象研究。上同调可以看作是一种对拓扑空间赋予代数不变量的方法，但其代数结构比同调更为精炼。上同调源于同调的构造过程的代数对偶。通俗意义上讲，上链的基本意义是为同调的链赋予某种“量”。
流形
流形是局部上近似于欧几里得空间的拓扑空间。更精确的说，n-流形上的每一点都有一个同胚于n维欧式空间的邻域。举例来说，直线和圆都是一维流形，但数字8则不是。二维流形也称作曲面。二维流形的例子有平面、球面和环面等可看作三维空间中的物体的对象，但也包括克莱因瓶和实射影平面等不可看作三维空间里的物体，而必须看作四维空间里的物体的对象。
纽结理论
纽结理论是对（数学意义上的）纽结的研究。虽然纽结的概念是受现实生活中的绳结启发，对数学家而言“绳结”的两端是粘连在一起的，因而不能解开。在数学上，纽结的精确定义为圆在三维欧几里得空间R3的嵌入。若一个纽结能由另一个纽结通过对R3变形而得到（亦称环境同痕），我们就将其视为同一个纽结。这样的对环境的变换相当于对一个线圈进行连续操作，但避免剪开线圈或使线圈穿过自身。
复形
单纯复形是拓扑空间的一类，由点、线段、三角形等单纯形“粘合”而成。单纯复形不应当与范畴同伦论中的单纯集合混淆。单纯形在组合学中对应于抽象单纯形。
CW复形是一种拓扑空间，由J.H.C.怀特海德为迎合同伦论的需要而引入。这类空间比单纯形有更良好的范畴学性质，且仍旧保留其组合学的本质，因此计算方面的考虑没有被忽略。
代数不变量方法 这里的目标是取拓扑空间然后把它们进一步分成范畴或分类。该课题的旧称之一是组合拓扑，蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。现在应用于代数拓扑的基本方法是通过函子，把空间映射到相应的代数范畴上。例如，通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上。
实现这个目标的主要方法是通过基本群，或者更一般的同伦论，和同调及上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息，但它们经常是非交换的，可能很难使用。（有限）单纯复形的基本群的确有有限表示。
另一方面来讲，同调和上同调群是交换群，并且在许多重要情形下是有限生成的。有限生成交换群有完整的分类，并且特别易于使用。
同调的结果 通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的n-阶同调群的自由阶等于n-阶贝蒂数（Betti number），所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的歐拉示性數。作为另外一个例子，闭流形的最高维的积分上同调群可以探测可定向性：该群同构于整数或者0，分别在流形可定向和不可定向时。这样，很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。
在只定义在单纯复形的单纯同调之上，还可以使用光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或Čech上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分方程的可解性。德拉姆证明所有这些方法是相互关联的，并且对于闭可定向流形，通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是一样的。
在范畴论中 一般来讲，所有代数几何的构造都是函子式的：概念范畴，函子和自然变换起源于此。基本群，同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量；而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态，而这些同态可以用于证明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。
代数拓扑的问题 代数拓扑的经典应用包括：
- 布劳威尔不动点定理：每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。
- n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。（对于n=2，这有时被称为"毛球定理"。）
- 博苏克-乌拉姆定理：任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。
- 任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思，因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说，任何自由群G可以实现为图X的基本群。覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的基本群；但是每个这样的Y又是一个图。所以其基本群H是自由的。
代数拓扑中最著名的问题之一是庞加莱猜想，它已经由俄国数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年解决。同伦论领域包含了很多悬疑，如表述球面的同伦群的正确方式等。
重要著作参考文献 引用
来源
- Allen Hatcher, Algebraic Topology ，剑桥大学出版社，剑桥，2002年。ISBN 0-521-79540-0.现代的带几何特色的代数拓扑介绍。该书有免费PDF和PostScript格式免费下载，网址作者的主页（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
- C. R. F. Maunder, Algebraic Topology（1970）Van Nostrand Reinhold, London ISBN 73-105346.
代数拓扑, 英語, algebraic, topology, 是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支, 其基本目标是通过寻找拓扑空间的具有代数结构的不变量, 从而将拓扑空间分类, 英语, classification, theorem, 环面, 学中最常出现的研究对象之一, 尽管学主要通过代数研究拓扑问题, 但有时也可以使用拓扑学知识解决代数问题, 例如, 学可以方便地证明自由群的任何子群又是一个自由群, 目录, 的主要分支, 同伦群, 同调, 上同调, 流形, 纽结理论, 复形, 代数不变量方法, 同调的结. 代数拓扑 英語 Algebraic topology 是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支 其基本目标是通过寻找拓扑空间的具有代数结构的不变量 从而将拓扑空间分类 英语 Classification theorem 环面 代数拓扑学中最常出现的研究对象之一 尽管代数拓扑学主要通过代数研究拓扑问题 但有时也可以使用拓扑学知识解决代数问题 例如 代数拓扑学可以方便地证明自由群的任何子群又是一个自由群 目录 1 代数拓扑的主要分支 1 1 同伦群 1 2 同调 1 3 上同调 1 4 流形 1 5 纽结理论 1 6 复形 2 代数不变量方法 3 同调的结果 4 在范畴论中 5 代数拓扑的问题 6 重要著作 7 参考文献 7 1 引用 7 2 来源代数拓扑的主要分支 编辑代数拓扑的几个主要分支如下 同伦群 编辑 主条目 同伦群 在数学中 同伦群是一个用于分类拓扑空间 基本群是同伦群最简单的例子 记录了空间中环结的信息 直观上来说 同伦群记录了拓扑空间中的基本形状 即 孔洞 的信息 同调 编辑 主条目 同调 在代数拓扑和抽象代数中 同调 homology 名称部分来源于希腊语ὁmos homos 同 是一类将一个阿贝尔群或模的序列联系到一个给定数学对象 如拓扑空间 群等 的过程 1 上同调 编辑 主条目 上同调 在同调论中 上同调是对一个在上链复形 co chain 上定义一个阿贝尔群的序列的过程的统称 换言之 上同调是对 上链 餘圈 cocycle 和上边缘 coboundary 的抽象研究 上同调可以看作是一种对拓扑空间赋予代数不变量的方法 但其代数结构比同调更为精炼 上同调源于同调的构造过程的代数对偶 通俗意义上讲 上链的基本意义是为同调的链赋予某种 量 流形 编辑 主条目 流形 流形是局部上近似于欧几里得空间的拓扑空间 更精确的说 n 流形上的每一点都有一个同胚于n维欧式空间的邻域 举例来说 直线和圆都是一维流形 但数字8则不是 二维流形也称作曲面 二维流形的例子有平面 球面和环面等可看作三维空间中的物体的对象 但也包括克莱因瓶和实射影平面等不可看作三维空间里的物体 而必须看作四维空间里的物体的对象 纽结理论 编辑 主条目 紐結理論 纽结理论是对 数学意义上的 纽结的研究 虽然纽结的概念是受现实生活中的绳结启发 对数学家而言 绳结 的两端是粘连在一起的 因而不能解开 在数学上 纽结的精确定义为圆在三维欧几里得空间R3的嵌入 若一个纽结能由另一个纽结通过对R3变形而得到 亦称环境同痕 我们就将其视为同一个纽结 这样的对环境的变换相当于对一个线圈进行连续操作 但避免剪开线圈或使线圈穿过自身 复形 编辑 主条目 单纯复形和CW复形 单纯复形是拓扑空间的一类 由点 线段 三角形等单纯形 粘合 而成 单纯复形不应当与范畴同伦论中的单纯集合混淆 单纯形在组合学中对应于抽象单纯形 CW复形是一种拓扑空间 由J H C 怀特海德为迎合同伦论的需要而引入 这类空间比单纯形有更良好的范畴学性质 且仍旧保留其组合学的本质 因此计算方面的考虑没有被忽略 代数不变量方法 编辑这里的目标是取拓扑空间然后把它们进一步分成范畴或分类 该课题的旧称之一是组合拓扑 蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思 现在应用于代数拓扑的基本方法是通过函子 把空间映射到相应的代数范畴上 例如 通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上 实现这个目标的主要方法是通过基本群 或者更一般的同伦论 和同调及上同调群 基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息 但它们经常是非交换的 可能很难使用 有限 单纯复形的基本群的确有有限表示 另一方面来讲 同调和上同调群是交换群 并且在许多重要情形下是有限生成的 有限生成交换群有完整的分类 并且特别易于使用 同调的结果 编辑通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论 单纯复形的n 阶同调群的自由阶等于n 阶贝蒂数 Betti number 所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的歐拉示性數 作为另外一个例子 闭流形的最高维的积分上同调群可以探测可定向性 该群同构于整数或者0 分别在流形可定向和不可定向时 这样 很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到 在只定义在单纯复形的单纯同调之上 还可以使用光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或Cech上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分方程的可解性 德拉姆证明所有这些方法是相互关联的 并且对于闭可定向流形 通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是一样的 在范畴论中 编辑一般来讲 所有代数几何的构造都是函子式的 概念范畴 函子和自然变换起源于此 基本群 同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量 而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态 而这些同态可以用于证明映射的不存在性 或者 更深入的 存在性 代数拓扑的问题 编辑代数拓扑的经典应用包括 布劳威尔不动点定理 每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点 n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数 对于n 2 这有时被称为 毛球定理 博苏克 乌拉姆定理 任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点 任何自由群的子群是自由的 这个结果很有意思 因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的 也就是说 任何自由群G可以实现为图X的基本群 覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的基本群 但是每个这样的Y又是一个图 所以其基本群H是自由的 代数拓扑中最著名的问题之一是庞加莱猜想 它已经由俄国数学家格里戈里 佩雷尔曼于2003年解决 同伦论领域包含了很多悬疑 如表述球面的同伦群的正确方式等 重要著作 编辑参见数学著作 代数拓扑以获取更详尽的列表 参考文献 编辑引用 编辑 Fraleigh 1976 p 163 来源 编辑 Allen Hatcher Algebraic Topology 剑桥大学出版社 剑桥 2002年 ISBN 0 521 79540 0 现代的带几何特色的代数拓扑介绍 该书有免费PDF和PostScript格式免费下载 网址作者的主页 页面存档备份 存于互联网档案馆 C R F Maunder Algebraic Topology 1970 Van Nostrand Reinhold London ISBN 73 105346 取自 https zh wikipedia org w index php title 代数拓扑 amp oldid 73987567, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
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