代数内部

作为数学的一个分支，在泛函分析中，向量空间子集的代数内部(英語：Algebraic interior)或径向核(英語：Radial kernel)是对内部概念的细化。 它是给定集合相对于该点是吸收的的点构成的子集，即集合的径向点构成的集合。^[1]代数内部的元素通常被称为内点(英語：Internal point)。 ^[2][3]

正式地，如果${\displaystyle X}$是线性空间，则${\displaystyle A\subseteq X}$的代数内部是

${\displaystyle \operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\exists t_{x}>0,\forall t\in [0,t_{x}],x_{0}+tx\in A\right\}}$。^[4]

一般来说，${\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$，但如果${\displaystyle A}$是一个凸集，则有${\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$。假设${\displaystyle A}$是凸集，则如果${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1}$，就有${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)}$。

例子

如果${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ，则有${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$ ，但${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$ 且${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$ 。

性质

令${\displaystyle A,B\subset X}$ 则：

• ${\displaystyle A}$ 是吸收的当且仅当${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$  ^[1]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)}$ ^[5]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$ 如果${\displaystyle B=\operatorname {core} B}$ ^[5]

和内部的关系

令${\displaystyle X}$ 是拓扑向量空间，${\displaystyle \operatorname {int} }$ 表示内部算子，且${\displaystyle A\subset X}$ ，则有：

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$ 
• 如果${\displaystyle A}$ 是非空凸集且${\displaystyle X}$  有限维的，则有${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$ ^[2]
• 如果${\displaystyle A}$ 是有非空内部的凸集，则有${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$ ^[6]
• 如果${\displaystyle A}$ 是闭凸集且${\displaystyle X}$ 是完备度量空间，则有${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$ ^[7]

另请参阅

• 内部
• 相对内部（英语：Relative interior）
• 拟相对内部（英语：Quasi-relative interior）
• 有序单位（英语：Order unit）
• 边界点

参考文献

1. Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe. Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and (${\displaystyle \mu ,\rho }$ )-Portfolio Optimization. 2000. 
2. Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3rd. Springer. 2007: 199–200. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9. 
3. John Cook. Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces (pdf). May 21, 1988 [November 14, 2012]. （原始内容 (PDF)于2019-02-27）. 
4. Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ. Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. 1992. ISBN 978-3-540-50584-6. 
5. Zălinescu, C. Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. 2002: 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556. 
6. Shmuel Kantorovitz. Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. 2003: 134. ISBN 9780198526568. 
7. Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, 2000 [2016-12-19], ISBN 9780387987057, （原始内容于2019-05-02） .