亨泽尔引理

亨泽尔引理是数学中模算术的一個结论。亨泽尔引理说明，如果一个模p（p是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模p的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

定理内容

設${\displaystyle f(x)}$ 為整係數多項式，${\displaystyle k}$ 為不少於2的整數，${\displaystyle p}$ 為質數。若整數${\displaystyle r}$ 是下面同餘式的根：

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k-1}}}.}$ 

對於

${\displaystyle f(r+tp^{k-1})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$  （I）

，則有：

• 若${\displaystyle f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}}$ ，則存在唯一的整數${\displaystyle 0\leq t\leq p-1}$ 使得（I）成立。

${\displaystyle tf'(r)\equiv -(f(r)/p^{k-1}){\pmod {p}}.\,}$ 

• 若${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}}$  且 ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$  ，則（I）對任意整數t成立。
• 若${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}}$  但 ${\displaystyle f(r)\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$ ，則（I）無整數解。

證明

Hensel引理可用泰勒公式證明。

${\displaystyle f(r+tp^{k-1})=f(r)+tp^{k-1}f'(r)+{\frac {1}{2}}t^{2}p^{2(k-1)}f''(r)+{\frac {1}{6}}t^{3}p^{3(k-1)}f'''(r)+...}$ 

因此可見，由第三項開始，都必能被${\displaystyle p^{k}}$ 整除。因此：

${\displaystyle f(r+tp^{k-1})\equiv f(r)+tp^{k-1}f'(r){\pmod {p^{k}}}}$ 

推廣

若${\displaystyle K}$ 為完備局域。設 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 為${\displaystyle K}$ 的整數環，設${\displaystyle f(x)}$ 為係數在 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 的多項式，若存在 ${\displaystyle \alpha _{0}\in {\mathcal {O}}_{K}}$ 使得

${\displaystyle |f(\alpha _{0})|<|f'(\alpha _{0})|^{2}}$ 

則${\displaystyle f(x)}$ 有根${\displaystyle \alpha \in K}$ 。

且：

1. ${\displaystyle \alpha _{i+1}=\alpha _{i}-{\frac {f(\alpha _{i})}{f'(\alpha _{i})}}}$  趨近${\displaystyle \alpha }$ 
2. ${\displaystyle |\alpha -\alpha _{0}|\leq |{\frac {f(\alpha _{i})}{f'(\alpha _{i})}}|<1}$ 

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

參考

• http://mathworld.wolfram.com/HenselsLemma.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://eom.springer.de/h/h046930.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）