二次方程, 此條目需要补充更多来源, 2014年5月28日, 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除, 致使用者, 请搜索一下条目的标题, 来源搜索, 网页, 新闻, 书籍, 学术, 图像, 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源, 判定指引, 是一种整式方程, 主要特点是未知项的最高次数是2, 其中最常见的是一元, 目录, 一元, 方程的一般形式, 求根公式, 根与系数的关系, 求根公式的由来, 对应函数的极值, 參見, 参考一元, 编辑方程的一般形式, 编辑, 一元. 此條目需要补充更多来源 2014年5月28日 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目 无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除 致使用者 请搜索一下条目的标题 来源搜索 二次方程 网页 新闻 书籍 学术 图像 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源 判定指引 二次方程是一种整式方程 主要特点是未知项的最高次数是2 其中最常见的是一元二次方程 1 目录 1 一元二次方程 1 1 方程的一般形式 1 2 求根公式 1 3 根与系数的关系 1 4 求根公式的由来 1 5 对应函数的极值 2 參見 3 参考一元二次方程 编辑方程的一般形式 编辑 一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程 它的一般形式为 a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 nbsp 其中 a 0 displaystyle a neq 0 nbsp a x 2 displaystyle ax 2 nbsp 为方程的二次项 a displaystyle a nbsp 为方程的二次项系数 b x displaystyle bx nbsp 为一次项 b displaystyle b nbsp 为一次项系数 c displaystyle c nbsp 为常数项 若a 0 displaystyle a 0 nbsp 则该方程没有二次项 即退变为一元一次方程 求根公式 编辑 nbsp y 3 2 x 2 1 2 x 4 3 displaystyle y frac 3 2 x 2 frac 1 2 x frac 4 3 nbsp y 4 3 x 2 4 3 x 1 3 displaystyle y frac 4 3 x 2 frac 4 3 x frac 1 3 nbsp y x 2 1 2 displaystyle y x 2 frac 1 2 nbsp 一元二次方程根的判别式為D b 2 4 a c displaystyle Delta b 2 4ac nbsp 若D gt 0 displaystyle Delta gt 0 nbsp 則該方程有两個不相等的實数根 x 1 2 b b 2 4 a c 2 a displaystyle x 1 2 frac b pm sqrt b 2 4ac 2a nbsp 若D 0 displaystyle Delta 0 nbsp 則該方程有两個相等的實数根 x 1 2 b 2 a displaystyle x 1 2 frac b 2a nbsp 若D lt 0 displaystyle Delta lt 0 nbsp 則該方程有一對共軛複數根 x 1 2 b i 4 a c b 2 2 a displaystyle x 1 2 frac b pm i sqrt 4ac b 2 2a nbsp 由上可知 在實數範圍內求解一元二次方程 當D 0 displaystyle Delta geq 0 nbsp 時 方程纔有根 有兩個不等實數根或兩個相等實數根 當D lt 0 displaystyle Delta lt 0 nbsp 時 方程有两个复数根 但是在实数范围无解 根与系数的关系 编辑 更多信息 韦达定理 设x 1 displaystyle x 1 nbsp x 2 displaystyle x 2 nbsp 是一元二次方程 a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 nbsp a 0 displaystyle a neq 0 nbsp 的两根 则两根之和 x 1 x 2 b a displaystyle x 1 x 2 frac b a nbsp 两根之积 x 1 x 2 c a displaystyle x 1 x 2 frac c a nbsp 一元二次方程 二元二次方程 高元二次方程求根公式的由来 编辑 中亚细亚的花拉子米 约780 约850 在公元820年左右出版了 代数学 书中给出了一元二次方程的求根公式 并把方程的未知数叫做 根 其后译成拉丁文radix 我们通常把 x b b 2 4 a c 2 a displaystyle x frac b pm sqrt b 2 4ac 2a nbsp 称之为 a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 nbsp 的求根公式 a x 2 b x c 0 x 2 b a x c a 0 x 2 b a x b 2 a 2 b 2 a 2 c a 0 x b 2 a 2 b 2 4 a 2 c a 0 x b 2 a 2 b 2 4 a 2 c a x b 2 a 2 b 2 4 a c 4 a 2 x b 2 a b 2 4 a c 2 a x b b 2 4 a c 2 a displaystyle begin aligned ax 2 bx c amp 0 x 2 frac b a x frac c a amp 0 x 2 frac b a x left frac b 2a right 2 left frac b 2a right 2 frac c a amp 0 left x frac b 2a right 2 frac b 2 4a 2 frac c a amp 0 left x frac b 2a right 2 amp frac b 2 4a 2 frac c a left x frac b 2a right 2 amp frac b 2 4ac 4a 2 x frac b 2a amp frac pm sqrt b 2 4ac 2a x amp frac b pm sqrt b 2 4ac 2a end aligned nbsp 或不將x 2 displaystyle x 2 nbsp 係數化為1 a x 2 b x c 0 a x 2 b x b 2 a 2 b 2 a 2 c x a b 2 a 2 b 2 a 2 c x a b 2 a b 2 a 2 c x a b 2 a b 2 4 a c x b 2 a b 2 4 a 2 c a x b 2 a b 2 4 a 2 4 a c 4 a 2 x b 2 a b 2 4 a c 4 a 2 x b b 2 4 a c 2 a displaystyle begin aligned ax 2 bx c amp 0 ax 2 bx left frac b 2 sqrt a right 2 amp left frac b 2 sqrt a right 2 c left x sqrt a frac b 2 sqrt a right 2 amp left frac b 2 sqrt a right 2 c x sqrt a frac b 2 sqrt a amp pm sqrt left frac b 2 sqrt a right 2 c x sqrt a frac b 2 sqrt a amp pm sqrt frac b 2 4a c x frac b 2a amp pm sqrt frac b 2 4a 2 frac c a x frac b 2a amp pm sqrt frac b 2 4a 2 frac 4ac 4a 2 x amp frac b 2a pm sqrt frac b 2 4ac 4a 2 x amp frac b pm sqrt b 2 4ac 2a end aligned nbsp 对应函数的极值 编辑 设 y a x 2 b x c displaystyle y ax 2 bx c nbsp a 0 displaystyle a neq 0 nbsp 对x displaystyle x nbsp 求导 得 d y d x 2 a x b displaystyle frac mathop mbox d y mathop mbox d x 2ax b nbsp 令 d y d x 0 displaystyle frac mathop mbox d y mathop mbox d x 0 nbsp 得 x b 2 a displaystyle begin aligned x amp frac b 2a end aligned nbsp 即为 y displaystyle y nbsp 的极值点 该式亦为函数图形 即抛物线 的对称轴方程 将 x b 2 a displaystyle x frac b 2a nbsp 代入 y displaystyle y nbsp 可得 y b 2 4 a c 4 a displaystyle begin aligned y amp frac b 2 4ac 4a end aligned nbsp 即为 y displaystyle y nbsp 的极值 根据函数取极值的充分条件 即 f x lt 0 displaystyle f x lt 0 nbsp x displaystyle x nbsp 是f x displaystyle f x nbsp 的极大值点 f x gt 0 displaystyle f x gt 0 nbsp x displaystyle x nbsp 是f x displaystyle f x nbsp 的极小值点 由d 2 y d x 2 2 a displaystyle frac mathop mbox d 2 y mathop mbox d x 2 2a nbsp 可知 当a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp 时 抛物线开口向下 x b 2 a displaystyle x frac b 2a nbsp 为y displaystyle y nbsp 的极大值点 当a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp 时 抛物线开口向上 x b 2 a displaystyle x frac b 2a nbsp 为y displaystyle y nbsp 的极小值点 參見 编辑一次方程 抛物綫 配方法 圆锥曲线参考 编辑 一般二次方程的讨论 2012 12 29 原始内容存档于2019 07 24 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 二次方程 amp oldid 73744848, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,