不动点组合子

不动点组合子（英語：Fixed-point combinator，或不动点算子）是计算其他函数的一个不动点的高阶函数。

函数 f 的不动點是將函數應用在輸入值 x 時，會傳回與輸入值相同的值，使得 f(x) = x。例如，0 和 1 是函数 f(x) = x² 的不动点，因为 0² = 0 而 1² = 1。鉴于一阶函数（在简单值比如整数上的函数）的不动点是个一阶值，高阶函数 f 的不动点是另一个函数 g 使得 f(g) = g。那么，不动点算子 fix 的定義是

${\displaystyle x=f\ x}$

使得对于任何函数 f

${\displaystyle {\textsf {fix}}\ f=f\ ({\textsf {fix}}\ f)}$

不动点组合子它们可以用非递归的 lambda抽象来定义，在 lambda演算中的函數都是匿名的。然而在命令式編程語言中的遞歸，或許限制只能以呼叫函數名稱作為參數來實作。在函數式編程語言中的不动点，以 lambda抽象来定义的Y組合子為：

${\displaystyle {\textsf {Y}}=\lambda f.(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))}$

則允许匿名函数足夠逹成递归的作用，即递归函数。應用於帶有一個變量的函數，Y組合子通常不會終止。將 Y組合子應用於二或更多個變量的函數，會獲得更有趣的結果。第二個變量可當作計數器或索引。由此產生的函數行為，表現出如命令式語言中一個while或for迴圈。

這個組合子也是 Curry悖論的核心，演示了無型別的 lambda演算是一個不穩固的推論系統，因由 Y組合子允許一個匿名表達式來表示零或者甚至許多值，這在數理邏輯上是不一致的。

Y组合子

在无类型lambda演算中众所周知的（可能是最简单的）不动点组合子叫做Y组合子。它是Haskell B. Curry发现的，定义为

Y := λf.(λx.(f (x x)) λx.(f (x x))) 用一个例子函数g来展开它，我们可以看到上面这个函数是怎么成为一个不动点组合子的：

(Y g)

= (λf.(λx.(f (x x)) λx.(f (x x))) g)

= (λx.(g (x x)) λx.(g (x x)))（λf的β-歸約 - 應用主函數於g）

= (λy.(g (y y)) λx.(g (x x)))（α-轉換 - 重命名約束變量）

= (g (λx.(g (x x)) λx.(g (x x))))（λy的β-歸約 - 應用左側函數於右側函數）

= (g (Y g))（Y的定義）

注意Y組合子意圖用于傳名求值策略，因為 (Y g)在傳值設置下會發散（對于任何g）。

不动点组合子的存在性

在数学的特定形式化中，比如无类型lambda演算和组合演算中，所有表达式都被当作高阶函数。在这些形式化中，不动点组合子的存在性意味着“所有函数都至少有一个不动点”，函数可以有多于一个不同的不动点。

在其他系统中，比如简单类型lambda演算，不能写出有良好类型（well-typed）的不动点组合子。在这些系统中对递归的任何支持都必须明确的增加到语言中。带有扩展的递归数据类型的简单类型lambda演算，可以写出不动点算子，“有用的”不动点算子（它的应用总是会返回）的类型将是有限制的。

例如，在Standard ML中Y组合子的传值调用变体有类型∀a.∀b.((a→b)→(a→b))→(a→b)，而传名调用变体有类型∀a.(a→a)→a。传名调用（正则序）变体在应用于传值调用的语言的时候将永远循环下去 -- 所有应用Y(f)展开为f(Y(f))。按传值调用语言的要求，到f的参数将接着展开，生成f(f(Y(f)))。这个过程永远重复下去（直到系统耗尽内存），而不会实际上求值f的主体。

例子

考虑阶乘函数（使用邱奇数）。平常的递归数学等式

fact(n) = if n=0 then 1 else n * fact(n-1)

可以用lambda演算把这个递归的一个“单一步骤”表达为

F = λf. λx. (ISZERO x) 1 (MULT x (f (PRED x))),

这里的"f"是给阶乘函数的占位参数，用于传递给自身。 函数F进行求值递归公式中的一个单一步骤。 应用fix算子得到

fix(F)(n) = F(fix(F))(n)

fix(F)(n) = λx. (ISZERO x) 1 (MULT x (fix(F) (PRED x)))(n)

fix(F)(n) = (ISZERO n) 1 (MULT n (fix(F) (PRED n)))我们可以简写fix(F)为fact，得到

fact(n) = (ISZERO n) 1 (MULT n (fact(PRED n)))所以我们见到了不动点算子确实把我们的非递归的“阶乘步骤”函数转换成满足预期等式的递归函数。

其他不动点组合子

Y组合子的可以在传值调用的应用序求值中使用的变体，由普通Y组合子的部分的η-展开给出：

Z = λf.(λx. f (λy. x x y)) (λx. f (λy. x x y))

Y组合子用SKI-演算表达为

Y = S (K (S I I)) (S (S (K S) K) (K (S I I)))在SK-演算中最简单的组合子由John Tromp发现，它是

Y' = S S K (S (K (S S (S (S S K)))) K)它对应于lambda表达式

Y' = (λx.λy. x y x) (λy.λx. y (x y x))

另一个常见不动点组合子是图灵不动点组合子（阿兰·图灵发现的）:

Θ = (λx.λy.(y (x x y))) (λx.λy.(y (x x y)))它也有一个简单的传值调用形式：

Θ_v = (λx.λy.(y (λz. x x y z))) (λx.λy.(y (λz. x x y z)))

参见

• 组合子逻辑
• lambda演算
• 有类型lambda演算

外部链接

• http://okmij.org/ftp/Computation/fixed-point-combinators.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.cs.brown.edu/courses/cs173/2002/Lectures/2002-10-28-lc.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.mactech.com/articles/mactech/Vol.07/07.05/LambdaCalculus/（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.csse.monash.edu.au/~lloyd/tildeFP/Lambda/Examples/Y/（executable）^{[永久失效連結]}
• http://stackoverflow.com/questions/93526/what-is-a-y-combinator（页面存档备份，存于互联网档案馆）