上同调运算

数学中，上同调运算自1950年代起称为代数拓扑，特别是同伦论的核心，其简单定义是：若F是定义上同调论的函子，则上同调运算应是F到自身的自然变换。自始至终有两个基本点：

1. 运算可用组合方法研究；
2. 运算效果是产生有趣的双交换子理论。

这些研究来自庞特里亚金、波斯尼科夫、诺曼·斯廷罗德等人的研究，他们首次定义了模2系数情形下奇异上同调的庞特里亚金平方、波斯尼科夫平方、斯廷罗德根运算。其中的组合方面是在上链层面上对自然对角映射失效的表述。运算的斯廷罗德代数的一般理论与对称群的一般理论密切相关。 亚当斯谱序列中，双交换子方面隐含在Ext函子、Hom函子的导出函子的使用中；若在斯廷罗德代数作用上存在双交换子性，也只是在导出的层面上。其趋同于稳定同伦论中的群，而关于稳定同伦论的信息却很难获得。这种联系使同伦论对上同调运算产生了浓厚兴趣，自此成为一个研究课题。非凡上同调论有自己的上同调运算，可能表现出更丰富的约束。

正式定义

${\displaystyle (n,q,\pi ,G)\,}$ 

型上同调运算${\displaystyle \theta }$ 是定义在CW复形上的函子

${\displaystyle \theta :H^{n}(-,\pi )\to H^{q}(-,G)\,}$ 

的自然变换。

与艾伦伯格–麦克莱恩空间的关系

CW复形的上同调用艾伦伯格–麦克莱恩空间可表，因此由米田引理，${\displaystyle (n,q,\pi ,G)}$ 型上同调运算由${\displaystyle K(\pi ,n)\to K(G,q)}$ 的同伦类映射给出。再次利用可表性，上同调运算由${\displaystyle H^{q}(K(\pi ,n),G)}$ 的一个元素给出。

令${\displaystyle [A,B]}$ 表示A到B的映射的同伦类集，

${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle \mathrm {Nat} (H^{n}(-,\pi ),H^{q}(-,G))&=\mathrm {Nat} ([-,K(\pi ,n)],[-,K(G,q)])\\&=[K(\pi ,n),K(G,q)]\\&=H^{q}(K(\pi ,n);G).\end{aligned}}}$ 

另见

• 二阶上同调运算

参考文献

• Mosher, Robert E.; Tangora, Martin C., Cohomology operations and applications in homotopy theory, New York: Dover Publications, 2008 [1968], ISBN 978-0-486-46664-4, MR 0226634 
• Steenrod, N. E., Epstein, D. B. A. , 编, Cohomology operations, Annals of Mathematics Studies 50, Princeton University Press, 1962, ISBN 978-0-691-07924-0, MR 0145525