阿达马三圆定理

在复分析中，阿达马三圆定理是一个关于全纯函数性质的结论。

设 ${\displaystyle f(z)}$ 是环域 ${\displaystyle r_{1}\leq \left|z\right|\leq r_{3}}$ 上的全纯函数， ${\displaystyle M(r)}$ 是 ${\displaystyle |f(z)|}$ 在圆周 ${\displaystyle |z|=r}$ 上的最大值。那么， ${\displaystyle \log M(r)}$ 是一个对数 ${\displaystyle \log(r)}$ 的凸函数。进一步，如果不存在常数 ${\displaystyle \lambda }$ 和${\displaystyle c}$，使得 ${\displaystyle f(z)}$ 是 ${\displaystyle cz^{\lambda }}$ 的形式，那么 ${\displaystyle \log M(r)}$ 是 ${\displaystyle \log(r)}$ 的严格凸函数。

定理结论可以重述为：

${\displaystyle \log \left({\frac {r_{3}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{2})\leq \log \left({\frac {r_{3}}{r_{2}}}\right)\log M(r_{1})+\log \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{3})}$

对任何半径为 ${\displaystyle r_{1}<r_{2}<r_{3}}$ 的同心圆成立。

历史

此定理的一个描述和证明由李特尔伍德1912年给出，但他没有特别指出属于谁，将其列为一个已知的定理。波尔和兰道称这个定理最早由阿达马1896年给出，但阿达马没有出版证明^[1]。

参见

• 最大值原理
• 对数凸函数
• 哈代定理
• 调和测度

参考文献

• ^ H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9 (See section 9.3.)
• E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta-Function, (1951) Oxford at the Clarendon Press, Oxford. (See chapter 14)
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