fbpx
维基百科

阿列夫數

一月 30, 2023

各种各样的数
基本

延伸
其他

圓周率 …
自然對數的底 …
虛數單位
無窮大

在集合論中，阿列夫數或艾禮富數是一連串超窮基數。其標記符號為 ℵ （由希伯來字母א‎(aleph)演變而來）加角標表示。

可數集（包括自然數）的勢標記為，下一個較大的勢為，再下一個是，以此類推。一直繼續下來，便可以對任一序數 α 定義一個基數。

這一概念來自於康托尔，他定義了勢，並认识到无穷集合是可以有不同的勢的。

阿列夫數与一般在代數與微積分中出現的無限 (∞) 不同。阿列夫數用来衡量集合的大小，而無限只是在極限的寫法中出現，或是定義成擴展的實數軸上的端點。某些阿列夫數會大於另一些阿列夫數，而無限只是無限而已。

構造性定義

阿列夫數的直觀定義並沒有解釋什麽叫“下一個較大的勢”，也沒有證明是否存在“下一個較大的勢”。即便承認對任意的基數都存在更大的基數，是否存在“下一個較大的勢”使得這個基數和“下一個較大的基數”之間不再有其他的基數仍然是個問題。下面的構造型定義解決這個問題：[1]:28

  • ℵ0定義從前，它是一個良序集ℕ的序數；
  • 考慮良序集[1]:25按照某种同構關係[注 1]划出的等價類[1]:18[注 2]；
    • 如上定義的等價類有一個特點：可比較[1]:25，
  • 設ℵa已定義且是一良序集的基數，考慮：
    1. 由於ℵa是某良序集的基數，這個良序集必存在于某個等價類中；一定還有其他基數爲ℵa的良序集，這些良序集必將也存在于某個等價類中（可能與上面的同屬同一個等價類，但不一定）。所有這些等價類[注 3]將做成一集，記爲Z(ℵa)。
    2. Z(ℵa)也是良序集。[1]:27
    3. 定義ℵa+1:= card(Z(ℵa))，它是一個良序集的基數。

阿列夫1

 是所有可數序數集合的勢，稱為 ω1或有時為Ω。這個ω1本身是一個比所有可數序數更大的序數，因此它為一個不可數集。

數“阿列夫”

在中國大陸，實數集的基數常被記爲 c 或 ℵ，卽 ℵ := ℶ₁，這樣連續統假設就常常被表述爲 ℵ = ℵ₁．閲讀相關讀物時應避免混淆。人們在學數學分析（微積分）時常常以爲自己時常遇到的是阿列夫数，事實上他們遇到的是 “ℵ”或“c”，卽角標爲1的 ℶ 數。除非討論集合論，否則阿列夫数將是最不常用的基數之一。

另見

註釋

  1. ^ 卽……
  2. ^ 如果把這樣定義的等價類看成該集合莫須有的“末元素”的話，就把它叫做序數。
  3. ^ 基於前面所說的此類等價類的一些性質，這些等價類（或序數）……

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 陳建功. 實函數論. 北京: 科學出版社. 1958.9. CSBN 13031·41. 

外部連結

一月 30, 2023
阿列夫數, 此條目或其章節极大或完全地依赖于某个单一的来源, 2014年7月15日, 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目, 致使用者, 请搜索一下条目的标题, 来源搜索, 网页, 新闻, 书籍, 学术, 图像, 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源, 判定指引, 各种各样的数基本n, displaystyle, mathbb, subseteq, mathbb, subseteq, mathbb, subseteq, mathbb, subseteq, mathbb, 正數, displaystyle, m. 此條目或其章節极大或完全地依赖于某个单一的来源 2014年7月15日 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目 致使用者 请搜索一下条目的标题 来源搜索 阿列夫數 网页 新闻 书籍 学术 图像 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源 判定指引 各种各样的数基本N Z Q R C displaystyle mathbb N subseteq mathbb Z subseteq mathbb Q subseteq mathbb R subseteq mathbb C 正數 R displaystyle mathbb R 自然数 N displaystyle mathbb N 正整數 Z displaystyle mathbb Z 小数有限小数无限小数循环小数有理数 Q displaystyle mathbb Q 代數數 A displaystyle mathbb A 实数 R displaystyle mathbb R 複數 C displaystyle mathbb C 高斯整數 Z i displaystyle mathbb Z i 负数 R displaystyle mathbb R 整数 Z displaystyle mathbb Z 负整數 Z displaystyle mathbb Z 分數單位分數二进分数規矩數無理數超越數虚数 I displaystyle mathbb I 二次无理数艾森斯坦整数 Z w displaystyle mathbb Z omega 延伸二元数四元數 H displaystyle mathbb H 八元数 O displaystyle mathbb O 十六元數 S displaystyle mathbb S 超實數 R displaystyle mathbb R 大實數上超實數 雙曲複數雙複數複四元數共四元數 英语 Dual quaternion 超复数超數超現實數其他質數 P displaystyle mathbb P 可計算數基數阿列夫數同餘整數數列公稱值 規矩數可定義數序数超限数p 進數數學常數 圓周率 p 3 14159265 displaystyle pi 3 14159265 自然對數的底 e 2 718281828 displaystyle e 2 718281828 虛數單位 i 1 displaystyle i sqrt 1 無窮大 displaystyle infty 查论编在集合論中 阿列夫數或艾禮富數是一連串超窮基數 其標記符號為 ℵ 由希伯來字母א aleph 演變而來 加角標表示 可數集 包括自然數 的勢標記為ℵ 0 displaystyle aleph 0 下一個較大的勢為ℵ 1 displaystyle aleph 1 再下一個是ℵ 2 displaystyle aleph 2 以此類推 一直繼續下來 便可以對任一序數 a 定義一個基數ℵ a displaystyle aleph alpha 這一概念來自於康托尔 他定義了勢 並认识到无穷集合是可以有不同的勢的 阿列夫數与一般在代數與微積分中出現的無限 不同 阿列夫數用来衡量集合的大小 而無限只是在極限的寫法中出現 或是定義成擴展的實數軸上的端點 某些阿列夫數會大於另一些阿列夫數 而無限只是無限而已 目录 1 構造性定義 2 阿列夫1 2 1 數 阿列夫 3 另見 4 註釋 5 參考文獻 6 外部連結構造性定義 编辑阿列夫數的直觀定義並沒有解釋什麽叫 下一個較大的勢 也沒有證明是否存在 下一個較大的勢 即便承認對任意的基數都存在更大的基數 是否存在 下一個較大的勢 使得這個基數和 下一個較大的基數 之間不再有其他的基數仍然是個問題 下面的構造型定義解決這個問題 1 28 ℵ0定義從前 它是一個良序集ℕ的序數 考慮良序集 1 25按照某种同構關係 注 1 划出的等價類 1 18 注 2 如上定義的等價類有一個特點 可比較 1 25 設ℵa已定義且是一良序集的基數 考慮 由於ℵa是某良序集的基數 這個良序集必存在于某個等價類中 一定還有其他基數爲ℵa的良序集 這些良序集必將也存在于某個等價類中 可能與上面的同屬同一個等價類 但不一定 所有這些等價類 注 3 將做成一集 記爲Z ℵa Z ℵa 也是良序集 1 27 定義ℵa 1 card Z ℵa 它是一個良序集的基數 阿列夫1 编辑ℵ 1 displaystyle aleph 1 是所有可數序數集合的勢 稱為 w1或有時為W 這個w1本身是一個比所有可數序數更大的序數 因此它為一個不可數集 數 阿列夫 编辑 在中國大陸 實數集的基數常被記爲 c 或 ℵ 卽 ℵ ℶ 這樣連續統假設就常常被表述爲 ℵ ℵ 閲讀相關讀物時應避免混淆 人們在學數學分析 微積分 時常常以爲自己時常遇到的是阿列夫数 事實上他們遇到的是 ℵ 或 c 卽角標爲1的 ℶ 數 除非討論集合論 否則阿列夫数將是最不常用的基數之一 另見 编辑格奧爾格 康托爾 基數 不可數集合 連續統假設 不存在一個基數絕對大於可數集而絕對小於實數集的集合 註釋 编辑 卽 如果把這樣定義的等價類看成該集合莫須有的 末元素 的話 就把它叫做序數 基於前面所說的此類等價類的一些性質 這些等價類 或序數 參考文獻 编辑 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 陳建功 實函數論 北京 科學出版社 1958 9 CSBN 13031 41 请检查 date 中的日期值 帮助 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 Aleph 0 MathWorld aleph numbers at PlanetMath 取自 https zh wikipedia org w index php title 阿列夫數 amp oldid 67739116, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

文章

，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。