σ-有限测度

σ-有限测度是测度论中的一个概念。给定一个σ-代数${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$，以及其上的一个测度${\displaystyle \mu }$，如果${\displaystyle \mu (\Omega )}$是一个有限的实数（而不是无穷大），那么就称这个测度为有限测度。如果${\displaystyle \Omega }$能够表示为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$之中的可数多个有限测度的子集的并集，

${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},\qquad B_{n}\in {\mathcal {A}},\quad \mu (B_{n})<\infty ,}$

那么就称这个测度为σ-有限测度^[1]:24。如果${\displaystyle \Omega }$的某个子集能够表示为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$之中的可数多个有限测度的子集的并集，那么也称这个子集拥有σ-有限的测度。

例子

• 勒贝格测度：实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的勒贝格测度不是有限测度，因为整个实数轴的“长度”，也就是全集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的测度是无穷大。但是，勒贝格测度是σ-有限测度，因为${\displaystyle \mathbb {R} }$ 可以表示为所有形如${\displaystyle [-n,n]}$ 的区间的并集，而每个区间的测度都是有限的（等于${\displaystyle 2n}$ ）：

  ${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }[-n,n].}$ ^[1]:24

• 计数测度：实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的计数测度，是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度：含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大^[2]:20-21。这个测度不是σ-有限测度，因为实数集是不可数的，它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集^[2]:30。不过，自然数集${\displaystyle \mathbb {N} }$ 上的计数测度就是σ-有限测度^[2]:29，因为全集${\displaystyle \mathbb {N} }$ 可以（很自然地）表示成可数个测度为1的子集的并集：

  ${\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\{n\}.}$ 

• 局部紧群：设${\displaystyle G}$ 是一个局部紧的拓扑群，并且是σ-紧致的，那么群${\displaystyle G}$ 上的哈尔测度是σ-有限测度^[3]:42。

性质

σ-有限测度中，全集可以表示为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的可数个有限测度子集的并集：${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}}$ ，但实际上表示的方法可以不止一种。比如说，令

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;C_{n}=\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\in {\mathcal {A}},}$ 

那么${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;\mu (C_{n})\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu (B_{k})}$ ，也就是说${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ 也是一系列有限测度的子集，并且${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots \subset C_{n}\subset C_{n+1}\subset \cdots }$ ，所以${\displaystyle \mu (C_{1})\leqslant \mu (C_{2})\leqslant \cdots \leqslant \mu (C_{n})\leqslant \mu (C_{n+1})\leqslant \cdots }$ 。随着下标增大，${\displaystyle C_{n}}$ 的测度越来越大，趋向正无穷大，并且${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }C_{n}}$ 。这称为全集的升序表示。而如果令：

${\displaystyle C_{0}=\varnothing ,\;\;\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;D_{n}=C_{n}\setminus C_{n-1}\in {\mathcal {A}},}$ ，

那么${\displaystyle \left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ 也是一系列测度有限，并且两两不相交的集合（交集为空集），并且${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$ 。${\displaystyle \left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ 被称为全集的一个划分，或者称为全集的不交覆盖。

半有限和一致σ-有限

与σ-有限测度的概念相关的概念还有半有限测度和一致σ-有限测度。一致σ-有限测度是一类特殊的σ-有限测度。它不仅要求全集${\displaystyle \Omega }$ 能够表示为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的可数个有限测度子集的并集：${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}}$ ，而且要求存在一个正实数${\displaystyle m}$ ，使得这些子集的测度（的绝对值）都小于等于${\displaystyle m}$ 。

${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},\qquad B_{n}\in {\mathcal {A}},\quad |\mu (B_{n})|<m,}$ 

勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致σ-有限测度。但并非所有的σ-有限测度都是一致σ-有限测度。比如说自然数集上如下定义的σ-有限测度${\displaystyle \mu _{c}}$ ：

${\displaystyle \forall E\in \mathbb {N} ,\;\;\mu _{c}(E)=\sum _{k\in E}k}$ 

就不是一致σ-有限测度^[2]:30。

半有限测度则是比σ-有限测度更宽泛的一种定义。如果${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ 上的一个测度中，任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集，那么就说这个测度是半有限测度。任何的σ-有限测度都是半有限测度，只要考虑它的升序表示，但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度，但它并不是σ-有限测度^[2]:30。

与概率测度的等价性

给定${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ ，其上的任何σ-有限测度${\displaystyle \mu }$ 都等价于一个${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ 的概率测度。具体的构造方法是：令${\displaystyle \left(B_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ 为全集${\displaystyle \Omega }$ 的一个不交覆盖（划分），并且每个${\displaystyle B_{n}}$ 在${\displaystyle \mu }$ 下的测度都是有限的；再令${\displaystyle \left(\omega _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ 为一个由正实数构成的数列，并且级数和

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.}$ 

那么以下方式定义的测度${\displaystyle \nu }$ ：

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\;\;\nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu (A\cap B_{n})}{\mu (B_{n})}}}$ 

就是一个与${\displaystyle \mu }$ 等价的概率测度，因为两者有着相同的零测集。

参见

• 富比尼定理
• 叶戈罗夫定理
• 拉东-尼科迪姆定理

参考资料

1. （英文）Vladimir I. Bogachev. Measure Theory. Springer. 2007. ISBN 9783540345145. 
2. （英文）Carlos S. Kubrusly. Measure Theory: A First Course. Gulf Professional Publishing，插图版. 2007. ISBN 9780123708991. 
3. （英文）A. B. Kharazishvili. Topics in Measure Theory and Real Analysis. Springer. 2009. ISBN 9789491216367.