β函數 (物理學)

在理论物理量子场论中β函數，β(g)描述的是在重正化群下，理論中耦合常數g随能量标度μ的變化，定义：

${\displaystyle \beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \log(\mu )}}~,}$

例子

量子电动力学

量子电动力学 (QED)中β函數一圈图表示：

• ${\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,}$ 

或

• ${\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}~,}$ 

这里精细结构常数α = e²/4π .

量子色动力学

量子色动力学 (QCD)中β函數还与夸克的味数${\displaystyle n_{f}}$ 有关其一圈图表示：

• ${\displaystyle \beta (g)=-\left(11-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$ 

或

• ${\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,}$ 

这里 α_s = ${\displaystyle {\frac {g^{2}}{4\pi }}}$  .

如果 n_f ≤ 16则β函數为负数，理论存在漸近自由，这一现象在1973年，被弗朗克·韋爾切克和戴維·格婁斯^[1]，與休·波利策^[2]兩組人發現。他們三人在2004年因這項發現而獲得了諾貝爾物理學獎^[3]。

SU(N)非阿贝尔规范理論

${\displaystyle \beta (\alpha )=\mu ^{2}{\frac {\partial }{\partial \mu ^{2}}}{\frac {\alpha (\mu ^{2})}{4\pi }}=-\left[\beta _{0}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{2}+\beta _{1}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{3}+\beta _{2}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{4}+\cdots \right]}$ 

${\displaystyle \beta _{0}={\frac {11}{3}}C_{A}-{\frac {4}{3}}T_{F}n_{f}}$ 

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {34}{3}}C_{A}^{2}-{\frac {20}{3}}C_{A}T_{F}n_{f}-4C_{F}T_{F}n_{f}}$ 

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {2857}{54}}C_{A}^{3}-{\frac {1415}{27}}C_{A}^{2}T_{F}n_{f}+{\frac {158}{27}}C_{A}T_{F}^{2}n_{f}^{2}+{\frac {44}{9}}C_{F}T_{F}^{2}n_{f}^{2}-{\frac {205}{9}}C_{F}C_{A}T_{F}n_{f}+2C_{F}^{2}T_{F}n_{f}}$ 

其中： ${\displaystyle T_{F}={\frac {1}{2}},C_{F}={\frac {N^{2}-1}{2N}}}$ 和 ${\displaystyle C_{A}=N}$ 

參考資料

1. D.J. Gross, F. Wilczek. Ultraviolet behavior of non-abeilan gauge theories. Physical Review Letters. 1973, 30: 1343–1346. Bibcode:1973PhRvL..30.1343G. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1343. 
2. H.D. Politzer. Reliable perturbative results for strong interactions. Physical Review Letters. 1973, 30 (26): 1346–1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346. 
3. The Nobel Prize in Physics 2004. NobelPrize.org. Nobel Media. [26 August 2011]. （原始内容于2018-06-29）.