Β函数

Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义：

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\!}$

其中${\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,}$。

性质

Β函数具有以下對稱性質：

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}$ 

当x,y是正整数的时候，我们可以从伽马函数定义得到如下式子：

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\!}$ 

它有许多其它的形式，包括：

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}$ 

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}$ 

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,\mathrm {d} t,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}$ 

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}$ 

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}$ 

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}$ 

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}\!}$ 

其中${\displaystyle \Gamma \,}$ 是伽玛函数。

就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}}$ 

伽玛函数与贝塔函数之间的关系

为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v.\!}$ 

现在，设${\displaystyle u=a^{2}}$ , ${\displaystyle v=b^{2}}$ ，因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,\mathrm {d} b\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b.\end{aligned}}\!}$ 

利用变量代换${\displaystyle a=r\cos \theta }$ 和${\displaystyle b=r\sin \theta }$ ，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\frac {1}{2}}{\color {red}{\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,\mathrm {d} (r^{2})}}\,4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\color {red}{\Gamma (x+y)}}\,2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$ 

因此，有：

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$ 

导数

贝塔函数的导数是：

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}$ 

其中${\displaystyle \psi (x)}$ 是双伽玛函数。

估计

斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\approx {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}.}$ 

不完全贝塔函数

不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为：

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}$ 

当x = 1，上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}$ 

当a和b是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：

${\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}$ 

正则不完全贝塔函数是Β分布的累積分布函數，可由二項式分布描述一個實隨機變量X的機率分布：

${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k)}$ 

其中p為試驗成功機率，n為樣本數。

性质

${\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}$ 

${\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}$ 

${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}$ 

参见

• Β分布
• 二项分布
• 伽玛函数

参考文献

• M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See §6.2, 6.6, and 26.5） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
• PlanetMath上用拉普拉斯变换来计算贝塔函数的資料。

外部链接