古爾丁定理, 英語, guldinus, theorem, 最初由古希臘的帕普斯發現, 後來在16世紀保羅, 古爾丁, 英语, paul, guldin, 又重新發現了這個定理, 表面積, 编辑有一條平面曲線, 跟它的同一個平面上有一條軸, 由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積a, displaystyle, nbsp, 等於曲線的長度s, displaystyle, nbsp, 乘以曲線的幾何中心經過的距離d, displaystyle, nbsp, displaystyle, nbsp, 設環面圓. 古爾丁定理 英語 Guldinus theorem 註 1 最初由古希臘的帕普斯發現 後來在16世紀保羅 古爾丁 英语 Paul Guldin 又重新發現了這個定理 表面積 编辑有一條平面曲線 跟它的同一個平面上有一條軸 由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積A displaystyle A nbsp 等於曲線的長度s displaystyle s nbsp 乘以曲線的幾何中心經過的距離d 1 displaystyle d 1 nbsp A s d 1 displaystyle A sd 1 nbsp 例 設環面圓管半徑為r displaystyle r nbsp 圓管中心到環面中心距離為R displaystyle R nbsp 把環面看成上面提到的曲線 其幾何中心是圓管中心 所以環面表面積為 2 p r 2 p R 4 p 2 r R displaystyle 2 pi r 2 pi R 4 pi 2 rR nbsp 若有平面連續曲線y f x displaystyle y f x nbsp 求x displaystyle x nbsp 在 a b displaystyle a b nbsp 時 曲線以x displaystyle x nbsp 軸旋轉所得的曲面表面積 可考慮一小段曲線 其幾何中心便是y displaystyle y nbsp 曲線長度為1 d y d x 2 displaystyle sqrt 1 frac mathrm d y mathrm d x 2 nbsp 因此這個曲面的表面積便是 2 p a b y 1 d y d x 2 d x displaystyle 2 pi int a b y sqrt 1 frac mathrm d y mathrm d x 2 mathrm d x nbsp 體積 编辑由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積V displaystyle V nbsp 等於平面形狀面積S displaystyle S nbsp 乘以平面形狀的幾何中心經過的距離d 1 displaystyle d 1 nbsp 的積 V S d 1 displaystyle V Sd 1 nbsp 再考慮一般平面曲線下的面積的情況 可得旋轉體體積V p a b y 2 d x displaystyle V pi int a b y 2 mathrm d x nbsp 注释 编辑 又稱帕普斯幾何中心定理 Pappus centroid theorem 古鲁金定理 巴普斯定理 取自 https zh wikipedia org w index php title 古爾丁定理 amp oldid 70734986, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,