西尔维斯特矩阵, 是与两个多项式相关的矩阵, 从这个矩阵可以知道这两个多项式的一些信息, 定义, 编辑设p和q为两个多项式, 次数分别为m和n, 因此, displaystyle, cdots, cdots, 于是, 与p和q相关的, 就是通过以下方法得到的矩阵, displaystyle, times, 第一行为, displaystyle, begin, pmatrix, cdots, cdots, pmatrix, 第二行是第一行往右移一列, 第二行第一列的元素是零, 下面的, 行也是用这种方法得出, 每次都. 西尔维斯特矩阵 是与两个多项式相关的矩阵 从这个矩阵可以知道这两个多项式的一些信息 定义 编辑设p和q为两个多项式 次数分别为m和n 因此 p z p 0 p 1 z p 2 z 2 p m z m q z q 0 q 1 z q 2 z 2 q n z n displaystyle p z p 0 p 1 z p 2 z 2 cdots p m z m q z q 0 q 1 z q 2 z 2 cdots q n z n 于是 与p和q相关的西尔维斯特矩阵 就是通过以下方法得到的矩阵 n m n m displaystyle n m times n m 第一行为 p m p m 1 p 1 p 0 0 0 displaystyle begin pmatrix p m amp p m 1 amp cdots amp p 1 amp p 0 amp 0 amp cdots amp 0 end pmatrix 第二行是第一行往右移一列 第二行第一列的元素是零 下面的 n 2 行也是用这种方法得出 每次都往右移一列 第 n 1 行为 q n q n 1 q 1 q 0 0 0 displaystyle begin pmatrix q n amp q n 1 amp cdots amp q 1 amp q 0 amp 0 amp cdots amp 0 end pmatrix 余下的行仍然是每次都往右移一列 因此 如果我们设m 4和n 3 则矩阵为 S p q p 4 p 3 p 2 p 1 p 0 0 0 0 p 4 p 3 p 2 p 1 p 0 0 0 0 p 4 p 3 p 2 p 1 p 0 q 3 q 2 q 1 q 0 0 0 0 0 q 3 q 2 q 1 q 0 0 0 0 0 q 3 q 2 q 1 q 0 0 0 0 0 q 3 q 2 q 1 q 0 displaystyle S p q begin pmatrix p 4 amp p 3 amp p 2 amp p 1 amp p 0 amp 0 amp 0 0 amp p 4 amp p 3 amp p 2 amp p 1 amp p 0 amp 0 0 amp 0 amp p 4 amp p 3 amp p 2 amp p 1 amp p 0 q 3 amp q 2 amp q 1 amp q 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp q 3 amp q 2 amp q 1 amp q 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp q 3 amp q 2 amp q 1 amp q 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp q 3 amp q 2 amp q 1 amp q 0 end pmatrix 应用 编辑西尔维斯特矩阵用于交换代数中 例如测试两个多项式是否有一个 非常数 公因式 确实 在这种情况下 相关的西尔维斯特矩阵的行列式 称为两个多项式的结式 等于零 反过来也成立 以下线性方程组的解 S p q T x y 0 0 displaystyle S p q mathrm T cdot begin pmatrix x y end pmatrix begin pmatrix 0 0 end pmatrix 其中x displaystyle x 是大小为n displaystyle n 的向量 y displaystyle y 是大小为m displaystyle m 的向量 由满足下式的多项式对x y displaystyle x y 次数分别为n 1 displaystyle n 1 和m 1 displaystyle m 1 的系数向量构成 x p y q 1 displaystyle x cdot p y cdot q 1 这就是说 西尔维斯特矩阵的转置的核给出了裴蜀方程的所有解 其中deg x lt deg q displaystyle deg x lt deg q 且deg y lt deg p displaystyle deg y lt deg p 这样 西尔维斯特矩阵的秩决定了p displaystyle p 和q displaystyle q 的最大公因式的次数 deg gcd p q m n r a n k S p q displaystyle deg gcd p q m n mathrm rank S p q 参考文献 编辑埃里克 韦斯坦因 Sylvester Matrix MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 西尔维斯特矩阵 amp oldid 25505794, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,