对偶范数, 此條目没有列出任何参考或来源, 2021年11月3日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 是数学中泛函分析里的概念, 考虑一个赋范向量空间的对偶空间时, 常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构, 是一种自然的赋范方式, 目录, 定义, 对偶空间, 例子, 参见, 参考来源定义, 编辑对偶空间, 编辑, 主条目, 对偶空间, 给定一个系数域为f, displaystyle, mathbb, nbsp, 赋范向量空间, 比如说一. 此條目没有列出任何参考或来源 2021年11月3日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 对偶范数是数学中泛函分析里的概念 考虑一个赋范向量空间的对偶空间时 常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构 对偶范数是一种自然的赋范方式 目录 1 定义 1 1 对偶空间 1 2 对偶范数 2 例子 3 参见 4 参考来源定义 编辑对偶空间 编辑 主条目 对偶空间 给定一个系数域为F displaystyle mathbb F nbsp 赋范向量空间 比如说一个巴拿赫空间 E 其中F displaystyle mathbb F nbsp 通常是实数域R displaystyle mathbb R nbsp 或复数域C displaystyle mathbb C nbsp 所有从E 到F displaystyle mathbb F nbsp 上的连续线性映射 也称为连续线性泛函 的集合称为E 的 连续 对偶空间 记作 E 对偶范数 编辑 可以证明 E 是一个向量空间 其上可以装备不同的范数 对偶范数 displaystyle cdot nbsp 是一种自然的范数定义方式 定义为 f E f sup f x x 1 sup f x x x 0 displaystyle forall f in E f sup left f x x leqslant 1 right sup left frac f x x x neq 0 right nbsp 由于E 中的元素的是连续线性泛函 所以按照以上定义的范数必然存在 是一个有限正实数 引进了对偶范数後 E 成为一个赋范线性空间 可以证明 E 在对偶范数下必然是完备的 所以E 是巴拿赫空间 证明 给定一个由E 中元素构成的柯西序列 f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp 其中每一个f n displaystyle f n nbsp 都是E 线性泛函 由柯西序列的定义可知 ϵ gt 0 N N displaystyle forall epsilon gt 0 exists N in mathbb N nbsp 使得 n m gt N f n f m lt ϵ displaystyle forall n m gt N f n f m lt epsilon nbsp 所以对E 中任何元素x 都有 n m gt N f n x f m x f n f m x f n f m x lt ϵ x displaystyle forall n m gt N f n x f m x f n f m x leqslant f n f m x lt epsilon x nbsp 这说明 f n x n N displaystyle left f n x right n in mathbb N nbsp 是柯西数列 因而收敛 数列的极限存在 定义函数f E F displaystyle f E rightarrow mathbb F nbsp 如下 f x lim n f n x displaystyle f x lim n to infty f n x nbsp 这样定义的函数f 是连续线性泛函 属于E 事实上 f 是线性映射 a b F x y E displaystyle forall alpha beta in mathbb F x y in E nbsp f a x b y lim n f n a x b y lim n a f n x b f n y a lim n f n x b lim n f n y a f x b f y displaystyle f alpha x beta y lim n to infty f n alpha x beta y lim n to infty left alpha f n x beta f n y right alpha lim n to infty f n x beta lim n to infty f n y alpha f x beta f y nbsp f 是连续映射 将ϵ displaystyle epsilon nbsp 定为1 则存在N 1 N displaystyle N 1 in mathbb N nbsp 使得 n gt N 1 displaystyle forall n gt N 1 nbsp 都有 f n f N 1 lt 1 displaystyle f n f N 1 lt 1 nbsp 这说明 n gt N 1 f n f N 1 1 displaystyle forall n gt N 1 f n leqslant f N 1 1 nbsp 因此 n gt N 1 x E x lt 1 displaystyle forall n gt N 1 x in E x lt 1 nbsp 都有 f n x f n x f n f N 1 1 displaystyle f n x leqslant f n x leqslant f n leqslant f N 1 1 nbsp 当n displaystyle n nbsp 趋向无穷大时 就有 f x f N 1 1 displaystyle f x leqslant f N 1 1 nbsp 这说明f 是连续映射 最后证明f 是序列 f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp 在对偶范数下的极限 给定ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 总能找到N N displaystyle N in mathbb N nbsp 使得 n m gt N f n f m lt ϵ displaystyle forall n m gt N f n f m lt epsilon nbsp 所以 x E x 1 displaystyle forall x in E x leqslant 1 nbsp f n x f m x f n f m x f n f m lt ϵ displaystyle f n x f m x leqslant f n f m x leqslant f n f m lt epsilon nbsp 当m displaystyle m nbsp 趋向无穷大时 就有 f n x f x ϵ displaystyle f n x f x leqslant epsilon nbsp 因此 n gt N f n f sup f n x f x x 1 ϵ displaystyle forall n gt N f n f sup f n x f x x leqslant 1 leqslant epsilon nbsp 这说明序列 f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp 在对偶范数下收敛到f 所以E 是完备空间 例子 编辑给定两个大于1的实数p 和q 如果两者满足 1 p 1 q 1 displaystyle frac 1 p frac 1 q 1 nbsp 那么序列空间ℓ p displaystyle ell p nbsp 和ℓ q displaystyle ell q nbsp 互相是对偶空间 在同构的意义上 ℓ p displaystyle ell p nbsp 装备的是序列p 范数之时 它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q 范数的ℓ q displaystyle ell q nbsp 建立等距同构 当p q 2 displaystyle p q 2 nbsp 时 以上性质说明 ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp 和自身对偶 参见 编辑参考来源 编辑 取自 https zh wikipedia org w index php title 对偶范数 amp oldid 68715250, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,