V-统计量

V-统计量是von Mises统计量的简称，以奥地利数学家Richard von Mises命名，其在统计学的估计理论中出现。

V-统计量与U-统计量形式相似，且统计性质上有紧密联系。每个V-统计量对应一个U-统计量，很多情况下，V-统计量的渐近分布，只是相应的U-统计量的渐近分布经过一些修饰的版本。

定义

定义 ${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{r}):\mathbb {R} ^{r}\to \mathbb {R} }$  为一个函数，其具有对称性，即交换任意 ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$  的位置，${\displaystyle h}$  的值保持不变。对随机变量 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$  ，基于 ${\displaystyle h}$  的V-统计量定义如下：

${\displaystyle V_{n}={\frac {1}{n^{r}}}\sum _{1\leq \{i_{1},\ldots ,i_{r}\}\leq n}h(X_{i_{1}},\ldots ,X_{i_{r}})}$ 

这里，${\displaystyle h(\cdot )}$  称为V-统计量的核函数（Kernel function），而核函数的维数 ${\displaystyle r}$  称为该V-统计量的度（degree）。

与U-统计量的区别

上述定义中，求和下标 ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{r}}$  互相之间不必两两不同，这是V-统计量与U-统计量唯一的区别。

性质

V-统计量和U-统计量是渐近等价的，也就是说，当 ${\displaystyle n}$  较大时，应用中一般不必区分两者。^[1]

V-统计量用作参数估计时，一般是有偏的。但因其和U-统计量的渐近等价性，这种偏差在大样本情形下可以忽略。

参见

• U-统计量

参考文献

1. Martins-Filho, Carlos; Yao, Feng. A Note on the Use of V and U Statistics in Nonparametric Models of Regression. Annals of the Institute of Statistical Mathematics. 2006-06-01, 58 (2): 389–406. doi:10.1007/s10463-006-0034-z.