最短路径快速算法

最短路径快速算法（英語：Shortest Path Faster Algorithm (SPFA)），国际上一般认为是带有队列优化的Bellman-Ford 算法，一般仅在中国大陆被称为SPFA，是一个用于求解有向带权图单源最短路径的算法。这一算法在随机的稀疏图上表现出色，并且适用于带有负边权的图。^[1] 然而SPFA在最坏情况的时间复杂度与 Bellman-Ford 算法相同，因此在非负边权的图中使用堆优化的Dijkstra 算法效率可能优于SPFA。^[2] SPFA算法首先在1959年由Edward F. Moore（英语：Edward F. Moore）作为广度优先搜索的扩展发表^[3]，相同算法在1994年由段凡丁重新发现。^[4]

算法

给定一个有向带权图${\displaystyle G=(V,E)}$ 和一个源点${\displaystyle s}$ ，SPFA算法可以计算从${\displaystyle s}$ 到图中每个节点${\displaystyle v}$ 的最短路径。其基本思路与 Bellman-Ford 算法相同，即每个节点都被用作用于松弛其相邻节点的备选节点。但相较于 Bellman-Ford 算法，SPFA算法的先进之处在于它并不盲目地尝试所有节点，而是维护一个备选的节点队列，并且仅有节点被松弛后才会将其放入队列中。整个流程不断重复，直至没有节点可以被松弛。

下面是这个算法的伪代码。^[5]这里的${\displaystyle Q}$ 是一个备选节点的先进先出队列，${\displaystyle w(u,v)}$  是边${\displaystyle (u,v)}$ 的权值。

 

一个基于欧氏几何距离的SPFA算法。红线是当前状态下的各条最短路径。蓝线表示松弛发生的地方，也即通过在${\displaystyle Q}$ 中用节点${\displaystyle u}$ 连接${\displaystyle v}$ 可以给出一条从源点到${\displaystyle v}$ 更短的路径

 procedure Shortest-Path-Faster-Algorithm(G, s) 1 for each vertex v ≠ s in V(G) 2 d(v) := ∞ 3 d(s) := 0 4 offer s into Q 5 while Q is not empty 6 u := poll Q 7 for each edge (u, v) in E(G) 8 if d(u) + w(u, v) < d(v) then 9 d(v) := d(u) + w(u, v) 10 if v is not in Q then 11 offer v into Q 

对于无向图，将每条无向边视作两条有向边以采用 SPFA 算法。

最坏情况下的性能

下面是一种触发该算法低性能表现的数据构造方式。假设要求从节点1到节点${\displaystyle n}$ 的最短路径。对于整数${\displaystyle 1\leq i<n}$ ，考虑添加边${\displaystyle (i,i+1)}$ 并令其权为一个随机的小数字（于是最短路应为1-2-...-${\displaystyle n}$ ），同时随机添加${\displaystyle 4n}$ 条其他的权较大的边。在这种情况下，SPFA算法的性能表现将会非常低下。^[1]

SPFA算法本质上依然被认为是Bellman-Ford算法的一个特例，因此一般认为SPFA算法的最差复杂度是${\displaystyle O(|V|\cdot |E|)}$ ，其中${\displaystyle |V|}$ 为点数，${\displaystyle |E|}$ 为边数。^[1]

NOI2018中，出题人使用特殊构造图卡到SPFA算法的最坏情况，并在讲题时在幻灯片上打出关于“SPFA它死了”的字样，导致现今很多中国大陆OI题目都会构造特殊数据卡掉SPFA，于是关于SPFA已死的说法广泛流传于中国大陆。^{[原創研究？]}

优化技巧

SPFA算法的性能很大程度上取决于用于松弛其他节点的备选节点的顺序。事实上，如果${\displaystyle Q}$ 是一个优先队列，则这个算法将很类似于Dijkstra 算法。然而尽管这一算法中并没有用到优先队列，仍有多种可用的技巧可以用来提升队列的质量，借此能够提高平均性能（但仍无法提高最坏情况下的性能）。其中，最著名的两种技巧通过重新调整${\displaystyle Q}$ 中元素的顺序从而使得更靠近源点的节点能够被更早地处理。因此一旦实现了这两种技巧，${\displaystyle Q}$ 将不再是一个先进先出队列，而更像一个链表或双端队列。

距离小者优先 （Small Label First(SLF)）（由Bertsekas在Networks, 第23期, 1993, P703-P709中最先提出)。在伪代码的第十一行，将总是把${\displaystyle v}$ 压入队列尾端修改为比较${\displaystyle d(v)}$  和 ${\displaystyle d{\big (}{\text{front}}(Q){\big )}}$ ，并且在${\displaystyle d(v)}$ 较小时将${\displaystyle v}$ 压入队列的头端。这一技巧的伪代码如下（这部分代码插入在上面的伪代码的第十一行后）：

 procedure Small-Label-First(G, Q) if d(back(Q)) < d(front(Q)) then u := pop back of Q push u into front of Q 

距离大者置后 （Large Label Last(LLL)）（由Bertsekas、Guerriero、与Musmanno在JOTA, 第88期, 1996, 页297-320最先提出)。在伪代码的第十一行，我们更新队列以确保队列头端的节点的距离总小于平均，并且任何距离大于平均的节点都将被移到队列尾端。伪代码如下：

 procedure Large-Label-Last(G, Q) x := average of d(v) for all v in Q while d(front(Q)) > x u := pop front of Q push u to back of Q 

参考文献

1. About the so-called SPFA algorithm. [2018-05-25]. （原始内容于2020-11-17）. 
2. SPFA算法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
3. Moore, Edward F. Proceedings of the International Symposium on the Theory of Switching. Harvard University Press: 285–292. 1959.  |contribution=被忽略 (帮助) SPFA is Moore's “Algorithm D”.
4. Duan, Fanding, 关于最短路径的SPFA快速算法, 西南交通大学学报 [Journal of Southwest Jiaotong University], 1994, 29 (2): 207–212 [2018-05-25], （原始内容于2019-04-25） 
5. 存档副本. [2018-05-25]. （原始内容于2021-01-16）. 

扩展阅读

• 夏正冬; 卜天明; 张居阳. SPFA算法的分析及改进. 《计算机科学》. 2014, 41 (6): 180–184 [2020-11-17]. （原始内容于2020-12-08）.