梅森旋转算法

梅森旋转演算法（Mersenne twister）是一个伪随机数发生算法（英语：Pseudorandom number generator）。由松本眞（日语：松本真）和西村拓士^[1]在1997年开发，基于有限二进制字段上的矩阵线性递归${\displaystyle F_{2}}$。可以快速产生高质量的伪随机数，修正了古典随机数发生算法的很多缺陷。

Mersenne Twister这个名字来自周期长度取自梅森質數的这样一个事实。这个算法通常使用两个相近的变体，不同之处在于使用了不同的梅森素数。一个更新的和更常用的是MT19937, 32位字长。还有一个变种是64位版的MT19937-64。对于一个k位的长度，Mersenne Twister会在${\displaystyle [0,2^{k}-1]}$的区间之间生成离散型均匀分布的随机数。

应用

梅森旋转算法是R、Python、Ruby、IDL、Free Pascal、PHP、Maple、Matlab、GNU多重精度运算库和GSL的默认伪随机数产生器。从C++11开始，C++也可以使用这种算法。在Boost C++,Glib和NAG数值库中，作为插件提供。

在SPSS中，梅森旋转算法是两个PRNG中的一个：另一个是产生器仅仅为保证旧程序的兼容性，梅森旋转被描述为“更加可靠”。梅森旋转在SAS中同样是PRNG中的一个，另一个产生器是旧时的且已经被弃用。

优点

最为广泛使用Mersenne Twister的一种变体是MT19937，可以产生32位整数序列。具有以下的优点：

1. 周期非常长，达到2¹⁹⁹³⁷−1。尽管如此长的周期并不必然意味着高质量的伪随机数，但短周期（比如许多旧版本软件包提供的2³²）确实会带来许多问题。^[2]
2. 在1 ≤ k ≤ 623的维度之间都可以均等分布（参见定义）。
3. 除了在统计学意义上的不正确的随机数生成器以外，在所有伪随机数生成器法中是最快的（当时）^[3]

缺点

为了性能，这个算法付出了巨大的空间成本（当时而言）：需要 2.5 KiB 的缓存空间。2011年，松本真和西村拓士针对这一问题提出了一个更小的版本，仅占127 bits的 TinyMT （Tiny Mersenne Twister）。^[4]

k-分布

其他选择

算法详细

整个算法主要分为三个阶段：

第一阶段：获得基础的梅森旋转链；

第二阶段：对于旋转链进行旋转算法；

第三阶段：对于旋转算法所得的结果进行处理；

算法实现的过程中，参数的选取取决于梅森素数，故此得名。

相关代码

下面的一段伪代码使用MT19937算法生成范围在[0, 2³² − 1]的均匀分布的32位整数：

偽代碼

 //創建一個長度為624的數組來存儲發生器的狀態 int[0..623] MT int index = 0 //初始化產生器，種子作為首項內容 function initialize_generator(int seed) { i := 0 MT[0] := seed for i from 1 to 623 { // 走訪剩下的每個元素 MT[i] := last 32 bits of(1812433253 * (MT[i-1] xor (right shift by 30 bits(MT[i-1]))) + i) // 1812433253 == 0x6c078965 } } // Extract a tempered pseudorandom number based on the index-th value, // calling generate_numbers() every 624 numbers function extract_number() { if index == 0 { generate_numbers() } int y := MT[index] y := y xor (right shift by 11 bits(y)) y := y xor (left shift by 7 bits(y) and (2636928640)) // 2636928640 == 0x9d2c5680 y := y xor (left shift by 15 bits(y) and (4022730752)) // 4022730752 == 0xefc60000 y := y xor (right shift by 18 bits(y)) index := (index + 1) mod 624 return y } // Generate an array of 624 untempered numbers function generate_numbers() { for i from 0 to 623 { int y := (MT[i] & 0x80000000) // bit 31 (32nd bit) of MT[i] + (MT[(i+1) mod 624] & 0x7fffffff) // bits 0-30 (first 31 bits) of MT[...] MT[i] := MT[(i + 397) mod 624] xor (right shift by 1 bit(y)) if (y mod 2) != 0 { // y is odd MT[i] := MT[i] xor (2567483615) // 2567483615 == 0x9908b0df } } } 

Python 代码

def _int32(x): return int(0xFFFFFFFF & x) class MT19937: def __init__(self, seed): self.mt = [0] * 624 self.mt[0] = seed self.mti = 0 for i in range(1, 624): self.mt[i] = _int32(1812433253 * (self.mt[i - 1] ^ self.mt[i - 1] >> 30) + i) def extract_number(self): if self.mti == 0: self.twist() y = self.mt[self.mti] y = y ^ y >> 11 y = y ^ y << 7 & 2636928640 y = y ^ y << 15 & 4022730752 y = y ^ y >> 18 self.mti = (self.mti + 1) % 624 return _int32(y) def twist(self): for i in range(0, 624): y = _int32((self.mt[i] & 0x80000000) + (self.mt[(i + 1) % 624] & 0x7fffffff)) self.mt[i] = (y >> 1) ^ self.mt[(i + 397) % 624] if y % 2 != 0: self.mt[i] = self.mt[i] ^ 0x9908b0df 

调用函数 MT19937(seed).extract_number() 将会返回随机数，其中 seed 是已确定的种子。

SFMT

实现

• XLL Excel Addin Implementation of mersenne twister random number generator （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Two implementations of Mersenne Twister in Java: one is the fastest known, and the other is a drop-in replacement for java.util.Random （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The GNU Scientific Library (GSL), containing an implementation of the Mersenne Twister （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• C++ and binary function libraries for several platforms. Multithreaded. Includes Mersenne Twister and SFMT （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Implementations of the Mersenne Twister in C and C++ （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• within the Mobile Robot Programming Toolkit
• Implementation of Mersenne Twister as an add-in for Microsoft Excel （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Implementation of Mersenne Twister as a free module for Visual Basic (Microsoft Excel, Microsoft Access and VB compilers) and for other Basic versions in the official site of the Mersenne Twister （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Implementation of Mersenne Twister for C# (newer, System.Random drop-in replacement) （页面存档备份，存于互联网档案馆） ()
• Implementation of Mersenne Twister for MATLAB （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Implementation of Mersenne Twister for Mitrion-C （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• High-speed Implementation of Mersenne Twister （页面存档备份，存于互联网档案馆） in Linoleum (a cross-platform Assembler), by Herbert Glarner
• CPAN module implementing the Mersenne Twister for use with Perl （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Implementation of Mersenne Twister for Haskell （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• It also is implemented in gLib and the standard libraries of at least PHP, Python and Ruby.
• RandomLib （页面存档备份，存于互联网档案馆） C++ library implementing Mersenne Twister and SFMT.
• Mersenne Twister in Clojure （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Implementation of Mersenne Twister for ABAP （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考列表

1. Makoto Matsumoto, Takuji Nishimura. Mersenne twister: a 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation (TOMACS). 1998-01-01, 8 (1): 3–30 [2018-04-02]. ISSN 1049-3301. doi:10.1145/272991.272995. 
2. 注：2¹⁹⁹³⁷约等于4.3×10⁶⁰⁰¹，这个值比可观测宇宙内粒子总数的估计值（10⁸⁷）还要高出上千个数量级。
3. P. L'Ecuyer and R. Simard, ``TestU01: A C Library for Empirical Testing of Random Number Generators, ACM Transactions on Mathematical Software, 33, 4, Article 22, August 2007.
4. Tiny Mersenne Twister (TinyMT). hiroshima-u.ac.jp. [4 October 2015]. （原始内容于2020-07-11）. 

外部链接

• The academic paper for MT, and related articles by Makoto Matsumoto （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• SIMD-oriented Fast Mersenne Twister (SFMT) （页面存档备份，存于互联网档案馆）