Hautus引理

Hautus引理（Hautus lemma）是在控制理论以及狀態空間下分析线性时不变系统時，相當好用的工具，得名自Malo Hautus^[1]，最早出現在1968年的《Classical Control Theory》及1973年的《Hyperstability of Control Systems》中 ^[2][3]，現今在許多的控制教科書上可以看到此引理。

主要結果

有許多有關引理的不同型式。

可控制性Hautus引理

可控制性Hautus引理提到若給定一方陣${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ 及${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$ ，以下幾個式子等效：

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$ 對具有可控制性
2. 針對所有的${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ，下式都成立 ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$ 
3. 針對所有${\displaystyle \mathbf {A} }$ 的特徵值${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ，下式都成立 ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$ 

可穩定性Hautus引理

可穩定性Hautus引理提到若給定一方陣${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ 及${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$ ，以下幾個式子等效：

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$ 對具有可穩定性
2. 針對所有${\displaystyle \mathbf {A} }$ 的特徵值${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ，而且滿足${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$ ，下式都成立${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$ 

可偵測性Hautus引理

可偵測性Hautus引理提到若給定一方陣${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ 及${\displaystyle \mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )}$ ，以下幾個式子等效：

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {C} )}$ 對具有可偵測性
2. 針對所有${\displaystyle \mathbf {A} }$ 的特徵值${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ，而且滿足${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$ ，下式都成立${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {C} ]=n}$ 

參考資料

1. Malo Hautus. [2017-12-10]. （原始内容于2018-11-29）. 
2. Belevitch, V. Classical Control Theory. San Francisco: Holden–Day. 1968. 
3. Popov, V. M. Hyperstability of Control Systems. Berlin: Springer-Verlag. 1973: 320. 

延伸閱讀

• Sontag, Eduard D. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite-Dimensional Systems.. New York: Springer. 1998. ISBN 0-387-98489-5. 
• Zabczyk, Jerzy. Mathematical Control Theory – An introduction. Boston: Birkhauser. 1995. ISBN 3-7643-3645-5.