漢克爾變換, 此條目没有列出任何参考或来源, 2012年7月19日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 汉克尔变换是指对任何给定函数, displaystyle, 以第一类贝塞尔函数, displaystyle, 作无穷级数展开, 贝塞尔函数, displaystyle, 的阶数不变, 级数各项, displaystyle, 作变化, 各项, displaystyle, 前系数, displaystyle, 构成了变换函数, 对于函数. 此條目没有列出任何参考或来源 2012年7月19日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 汉克尔变换是指对任何给定函数 f r displaystyle f r 以第一类贝塞尔函数 J n k r displaystyle J nu kr 作无穷级数展开 贝塞尔函数 J n k r displaystyle J nu kr 的阶数不变 级数各项 k displaystyle k 作变化 各项 J n k r displaystyle J nu kr 前系数 F n displaystyle F nu 构成了变换函数 对于函数 f r displaystyle f r 其 n displaystyle nu 阶贝塞尔函数的汉克尔变换 k displaystyle k 为自变量 为 F n k 0 f r J n k r r d r displaystyle F nu k int 0 infty f r J nu kr rdr 其中 J n displaystyle J nu 为阶数为 n displaystyle nu 的第一类贝塞尔函数 n 1 2 displaystyle nu geq 1 2 对应的 逆汉克尔变换 F n k displaystyle F nu k 定义为 f r 0 F n k J n k r k d k displaystyle f r int 0 infty F nu k J nu kr kdk 汉克尔变换是一种积分变换 最早由德国数学家赫尔曼 汉克尔提出 又被称为傅立叶 贝塞尔变换 目录 1 正交性 2 与其他函数变换的关系 2 1 傅立叶变换 3 常见汉克尔变换函数对 4 参见条目正交性 编辑贝塞尔函数构成 正交函数族 权重因子为 r 0 J n k r J n k r r d r d k k k displaystyle int 0 infty J nu kr J nu k r r operatorname d r frac delta k k k nbsp 其中 k displaystyle k nbsp 与 k displaystyle k nbsp 大于零 与其他函数变换的关系 编辑傅立叶变换 编辑 零阶汉克尔函数即为圆对称函数的二维傅立叶变换 给定二维函数 F r displaystyle F boldsymbol r nbsp 径向矢量为 r displaystyle boldsymbol r nbsp 其傅立叶变换为 F k f r e i k r d r displaystyle F boldsymbol k iint f boldsymbol r e i boldsymbol k cdot boldsymbol r d boldsymbol r nbsp 不失一般性 选择极坐标 r 8 displaystyle r theta nbsp 使得矢量 k displaystyle boldsymbol k nbsp 方向指向 8 0 displaystyle theta 0 nbsp 极坐标下的傅立叶变换写作 F k 0 0 2 p f r 8 e i k r cos 8 r d r d 8 displaystyle F boldsymbol k int 0 infty int 0 2 pi f r theta e ikr cos theta rdrd theta nbsp 其中 8 displaystyle theta nbsp 为矢量 k displaystyle boldsymbol k nbsp 与 r displaystyle boldsymbol r nbsp 间夹角 如果函数 f displaystyle f nbsp 恰为圆对称不依赖角变量 8 displaystyle theta nbsp f f r displaystyle f equiv f r nbsp 对角度 8 displaystyle theta nbsp 的积分可以提出 傅立叶变换写作 F k F k 2 p 0 f r J 0 k r r d r displaystyle F boldsymbol k F k 2 pi int 0 infty f r J 0 kr rdr nbsp 此式恰为 f r displaystyle f r nbsp 的零阶汉克尔变换的 2 p displaystyle 2 pi nbsp 倍 常见汉克尔变换函数对 编辑f r displaystyle f r nbsp F 0 k displaystyle F 0 k nbsp 1 displaystyle 1 nbsp d k k displaystyle delta k k nbsp 1 r displaystyle 1 r nbsp 1 k displaystyle 1 k nbsp r displaystyle r nbsp 1 k 3 displaystyle 1 k 3 nbsp r 3 displaystyle r 3 nbsp 9 k 5 displaystyle 9 k 5 nbsp r m displaystyle r m nbsp 2 m 1 G m 2 1 k m 2 G m 2 displaystyle frac 2 m 1 Gamma m 2 1 k m 2 Gamma m 2 nbsp for 2 lt Re m lt 1 21 r 2 z 2 displaystyle frac 1 sqrt r 2 z 2 nbsp e k z k 2 z p k K 1 2 k z displaystyle frac e k z k sqrt frac 2 z pi k K 1 2 k z nbsp 1 r 2 z 2 displaystyle frac 1 r 2 z 2 nbsp K 0 k z displaystyle K 0 kz nbsp z displaystyle z nbsp 可为复数e i a r r displaystyle e iar r nbsp i a 2 k 2 a gt 0 k lt a displaystyle i sqrt a 2 k 2 quad a gt 0 k lt a nbsp displaystyle nbsp 1 k 2 a 2 a gt 0 k gt a displaystyle 1 sqrt k 2 a 2 quad a gt 0 k gt a nbsp e a 2 r 2 2 displaystyle e a 2 r 2 2 nbsp e k 2 2 a 2 a 2 displaystyle frac e k 2 2a 2 a 2 nbsp r 2 f r displaystyle r 2 f r nbsp d 2 F 0 d k 2 1 k d F 0 d k displaystyle frac operatorname d 2 F 0 operatorname d k 2 frac 1 k frac operatorname d F 0 operatorname d k nbsp f r displaystyle f r nbsp F n k displaystyle F nu k nbsp r s displaystyle r s nbsp G 1 2 2 n s G 1 2 n s 2 s 1 k s 2 displaystyle frac Gamma left frac 1 2 2 nu s right Gamma tfrac 1 2 nu s frac 2 s 1 k s 2 nbsp r n 2 s G s r 2 h displaystyle r nu 2s Gamma left s r 2 h right nbsp 1 2 k 2 2 s n 2 g 1 s n k 2 4 h displaystyle frac 1 2 left frac k 2 right 2s nu 2 gamma left 1 s nu frac k 2 4h right nbsp e r 2 r n U a b r 2 displaystyle e r 2 r nu U left a b r 2 right nbsp G 2 n b 2 G 2 n b a k 2 n e k 2 4 1 F 1 a 2 a b n k 2 4 displaystyle frac Gamma 2 nu b 2 Gamma 2 nu b a left frac k 2 right nu e frac k 2 4 1 F 1 left a 2 a b nu frac k 2 4 right nbsp r 2 f r displaystyle r 2 f r nbsp d 2 F n d k 2 1 k d F n d k n 2 k 2 F n displaystyle frac operatorname d 2 F nu operatorname d k 2 frac 1 k frac operatorname d F nu operatorname d k frac nu 2 k 2 F nu nbsp 参见条目 编辑傅里叶变换 取自 https zh wikipedia org w index php title 漢克爾變換 amp oldid 73763863, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,