GPY篩法

GPY篩法（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一種篩法，這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。

這種篩法以Goldston（英语：Daniel Goldston）、Pintz（英语：János_Pintz）和Yildirim（英语：Cem Yıldırım）這三位數學家為名。^[1]他們在2005年時以此篩法證明說根據質數定理，可推出存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔。

張益唐後來修改此篩法，以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。^[2]之後詹姆斯·梅纳德（他把上述的界限降到${\displaystyle 600}$^[3]）及陶哲軒都曾修改此篩法。

GPY篩法

表記

首先固定${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ，之後定義以下表記：

• ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 是質數集合，且${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)}$ 是這集合的特徵方程。
• ${\displaystyle \Lambda (n)}$ 是馮·曼戈爾特函數。
• ${\displaystyle \omega (n)}$ 是用以計算${\displaystyle n}$ 的不同質因數個數的小寫俄梅戛函數（英语：prime omega function）。
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}}$ 是一組相異的非負整數${\displaystyle h_{i}\in \mathbb {Z} _{+}\cup \{0\}}$ 的集合。
• ${\displaystyle \theta (n)}$ 是另一個關於質數的特徵函數，其定義如下：

${\displaystyle \theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{if }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$ 

其中${\displaystyle \theta (n)=\log((n-1)1_{\mathbb {P} }(n)+1)}$ 。

對於${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 有以下定義：

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1},\dots ,n+h_{k})}$ ，
• ${\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})}$ 
• ${\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})}$ 是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 模${\displaystyle p}$ 的相異同餘類個數。像例如因為${\displaystyle \{0,2,4\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,2\}}$ 且${\displaystyle \{0,2\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2\}}$ 之故，因此有${\displaystyle \nu _{3}(\{0,2,4\})=3}$ 以及${\displaystyle \nu _{3}(\{0,2\})=2}$ 。

假若對所有的${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ 而言，都有${\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})<k}$ 的話，則稱${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 為「可及的」（admissible）。

構造

設${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}}$ 為「可及的」，並考慮以下篩函數（sifting function）：

${\displaystyle {\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}1_{\mathbb {P} }(n+h_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0.}$ 

那麼對任意的${\displaystyle n\in [N+1,2N]}$ 而言，這函數即是計算扣掉某個門檻${\displaystyle c}$ 之後，形如${\displaystyle n+h_{i}}$ 的質數的個數的函數，故在${\displaystyle {\mathcal {S}}>0}$ 的情況下，有某數${\displaystyle n}$ 使得至少${\displaystyle \lfloor c\rfloor +1}$ 是${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ 中的質數。

由於${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)}$ 的解析性質沒那麼好之故，因此可改用下列的篩函數：

${\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.}$ 

由於${\displaystyle \log(N)<\theta (n+h_{i})<\log(2N)}$ 且${\displaystyle c=\log(3n)}$ 之故，我們僅在存在${\displaystyle n+h_{i}}$ 及${\displaystyle n+h_{j}}$ 這兩個質數的狀況下，有${\displaystyle {\mathcal {S}}>0}$ 。我們接下來要做的，就是尋找權重函數${\displaystyle w(n)}$ 以便能測得質數k元組（英语：prime k-tuple）。

權重的派生

一個權重函數的可能候選，是一般化的馮·曼戈爾特函數：

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},}$ 

這函數有如次的性質：若${\displaystyle \omega (n)>k}$ ，則${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=0}$ 。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子，但在應用中，這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。^[1]:826

因此在${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ 是質數k元組的狀況下，以下方程不會消失：

${\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))}$ 

其中${\displaystyle 1/k!}$ 這因子僅僅是因方便計算而選取。

（古典）馮·曼戈爾特函數可以截形馮·曼戈爾特函數來估計：

${\displaystyle \Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),}$ 

其中${\displaystyle R}$ 不再表示${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 的長度，但用以決定截取點。類似地我們可以下式估計${\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})}$ ：

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}}$ 

因為技術理由，我們會希望估計在多個部分中帶有質數的數組，而非再引入另一個參數${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$ 的狀況下僅僅估計質數組，因此我們可選取${\displaystyle k+\ell }$ 或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式：

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }}$ 

在不引入${\displaystyle \ell }$ 這額外參數的狀況下，對不同的${\displaystyle d=d_{1}d_{2}\cdots d_{k}}$ 有${\displaystyle d_{1}\leq R,d_{2}\leq R,\dots ,d_{k}\leq R}$ 這樣的限制；但藉由引入此參數，我們可得到更寬鬆的限制${\displaystyle d_{1}d_{2}\dots d_{k}\leq R}$ 。^[1]:827

故對於${\displaystyle k}$ 維的篩法問題，我們有${\displaystyle k+\ell }$ 維的篩法。^[4]

GPY篩法

GPY篩法有下列形式：

${\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\qquad |{\mathcal {H}}|=k}$ 

其中

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell },\quad 0\leq \ell \leq k}$ .^[1]:827-829

Goldston、Pintz及Yıldırım三氏對主定理的證明

在考慮${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{1},\ell _{1},k_{1})}$ 、${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{2},\ell _{2},k_{2})}$ 以及${\displaystyle 1\leq h_{0}\leq R}$ 並定義${\displaystyle M:=k_{1}+k_{2}+\ell _{1}+\ell _{2}}$ 的情況下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中，以兩個定理證明了在合適的條件下，以下兩個非病態的形式成立。這兩個形式分別為

${\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)N}$ 

以及

${\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right)N}$ 

其中${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ 是兩個常數，${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})}$ 及${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})}$ 是兩個奇異級數（singular series），其描述在此省略。

最後我們可將此結果套用在${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。^[1]:827-829

註解

1. Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. Primes in Tuples I. Annals of Mathematics. 2009, 170 (2): 819–862. doi:10.4007/annals.2009.170.819  . 
2. Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2014, 179: 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7  . 
3. Maynard, James. Small gaps between primes. Annals of Mathematics. 2015, 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600  . doi:10.4007/annals.2015.181.1.7. 
4. Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y.; Graham, Sidney W. Small gaps between primes or almost primes. Transactions of the American Mathematical Society. 2009, 361 (10): 7. arXiv:math/0506067  .