德卡斯特里奥算法

数学子领域数值分析中的德卡斯特里奥算法（英語：De Casteljau's algorithm），以发明者保尔·德·卡斯特里奥命名，是计算伯恩斯坦形式的多项式或貝茲曲線的递归方法。

虽然对于大部分的体系结构，该算法和直接方法相比较慢，但它在数值上更为稳定。

定义

贝兹曲线B（角度为n，控制点${\displaystyle \beta _{0},\ldots ,\beta _{n}}$ ）可用以下方式运用德卡斯特里奥算法

${\displaystyle B(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}b_{i,n}(t)}$ ,

其中b为伯恩施坦基本多项式（英语：Bernstein polynomial）

${\displaystyle b_{i,n}(t)={n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}}$ .

曲线在t₀点上可以用遞迴關係式运算

${\displaystyle \beta _{i}^{(0)}:=\beta _{i}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n}$ 

${\displaystyle \beta _{i}^{(j)}:=\beta _{i}^{(j-1)}(1-t_{0})+\beta _{i+1}^{(j-1)}t_{0}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n-j{\mbox{ , }}j=1,\ldots ,n}$ 

然后，${\displaystyle B}$ 在${\displaystyle t_{0}}$ 点上的计算可以此算法的${\displaystyle n}$ 步计算。${\displaystyle B(t_{0})}$ 的结果为：

${\displaystyle B(t_{0})=\beta _{0}^{(n)}.}$ 

再者，贝兹曲线${\displaystyle B}$ 可在${\displaystyle t_{0}}$ 分成带有各种控制点的两段曲线：

${\displaystyle \beta _{0}^{(0)},\beta _{0}^{(1)},\ldots ,\beta _{0}^{(n)}}$ 

${\displaystyle \beta _{0}^{(n)},\beta _{1}^{(n-1)},\ldots ,\beta _{n}^{(0)}}$ 

注意事项

进行手算时把系数写成三角形形式很有用。

${\displaystyle {\begin{matrix}\beta _{0}&=\beta _{0}^{(0)}&&&\\&&\beta _{0}^{(1)}&&\\\beta _{1}&=\beta _{1}^{(0)}&&&\\&&&\ddots &\\\vdots &&\vdots &&\beta _{0}^{(n)}\\&&&&\\\beta _{n-1}&=\beta _{n-1}^{(0)}&&&\\&&\beta _{n-1}^{(1)}&&\\\beta _{n}&=\beta _{n}^{(0)}&&&\\\end{matrix}}}$ 

当选择一点t₀来计算波恩斯坦多项式时，我们可以用三角形形式的两个对角线来构造多项式的分段表示。

${\displaystyle B(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}^{(0)}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}\qquad t\in [0,1]}$ 

把它变成

${\displaystyle B_{1}(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{0}^{(i)}b_{i,n}\left({\frac {t}{t_{0}}}\right){\mbox{ , }}\qquad t\in [0,t_{0}]}$ 

以及

${\displaystyle B_{2}(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}^{(n-i)}b_{i,n}\left({\frac {t-t_{0}}{1-t_{0}}}\right){\mbox{ , }}\qquad t\in [t_{0},1]}$ 

例子

我们要计算2次波恩斯坦多项式，其伯恩斯坦系数为

${\displaystyle \beta _{0}^{(0)}=\beta _{0}}$ 

${\displaystyle \beta _{1}^{(0)}=\beta _{1}}$ 

${\displaystyle \beta _{2}^{(0)}=\beta _{2}}$ 

在t₀点计算。

我们有下式开始递归

${\displaystyle \beta _{0}^{(1)}=\beta _{0}^{(0)}(1-t_{0})+\beta _{1}^{(0)}t=\beta _{0}(1-t_{0})+\beta _{1}t_{0}}$ 

${\displaystyle \beta _{1}^{(1)}=\beta _{1}^{(0)}(1-t_{0})+\beta _{2}^{(0)}t=\beta _{1}(1-t_{0})+\beta _{2}t_{0}}$ 

递归的第二次重复结束于

${\displaystyle {\begin{matrix}\beta _{0}^{(2)}&=&\beta _{0}^{(1)}(1-t_{0})+\beta _{1}^{(1)}t_{0}\\\ &=&\beta _{0}(1-t_{0})(1-t_{0})+\beta _{1}t_{0}(1-t_{0})+\beta _{1}(1-t_{0})t_{0}+\beta _{2}t_{0}t_{0}\\\ &=&\beta _{0}(1-t_{0})^{2}+2\beta _{1}t_{0}(1-t_{0})+\beta _{2}t_{0}^{2}\\\end{matrix}}}$ 

这就是我们所预料的n阶伯恩斯坦多项式。

贝塞尔曲線

在计算带n+1个控制点P_i的三维空间中的n次贝塞尔曲線 (Bézier curve) 时

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}\mathbf {P} _{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}$ 

其中

${\displaystyle \mathbf {P} _{i}:={\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\\z_{i}\end{pmatrix}}}$ .

我们把Bézier曲线分成三个分立的方程

${\displaystyle B_{1}(t)=\sum _{i=0}^{n}x_{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}$ 

${\displaystyle B_{2}(t)=\sum _{i=0}^{n}y_{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}$ 

${\displaystyle B_{3}(t)=\sum _{i=0}^{n}z_{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]}$ 

然后我们用de Casteljau算法分别计算。

伪代码例子

这是一个递归的画出一条从点P1到P4，弯向P2和P3的曲线的伪代码例子。级数参数是递归的次数。该过程用增加了的级数参数来递归的调用它自己。当级别达到最大级别这个全局变量时，在P1和P4之间就画上直线。函数中点（midpoint）去两个点，并返回这两点间的线段的中点。

 global max_level = 5  procedure draw_curve(P1, P2, P3, P4, level)  if (level > max_level)  draw_line(P1, P4)  else  L1 = P1  L2 = midpoint(P1, P2)  H = midpoint(P2, P3)  R3 = midpoint(P3, P4)  R4 = P4  L3 = midpoint(L2, H)  R2 = midpoint(R3, H)  L4 = midpoint(L3, R2)  R1 = L4  draw_curve(L1, L2, L3, L4, level + 1)  draw_curve(R1, R2, R3, R4, level + 1)  end procedure draw_curve 

代码实现

Haskell

用线性插值计算P和Q之间的一点R，插值参数为t 用法：linearInterp P Q t  P = 代表一个点的表  Q = 代表一个点的表  t = 线性插值的参数值, t<-[0..1] 返回：代表点（1-t）P + tQ的表 > linearInterp :: [Float]->[Float]->Float->[Float] > linearInterp [] [] _ = [] > linearInterp (p:ps) (q:qs) t = (1-t)*p + t*q : linearInterp ps qs t 计算一对控制点间的线性插值的中间结果 用法：eval t b  t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]  b = 控制点的表 返回：对n个控制点，返回n-1个插值点的表 > eval :: Float->[[Float]]->[[Float]] > eval t（bi:bj:[]）= [linearInterp bi bj t] > eval t (bi:bj:bs) = (linearInterp bi bj t) : eval t (bj:bs) 用de Casteljau算法计算Bezier曲线上一点 用法：deCas t b  t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]  b = 控制点的表 返回：代表Bezier曲线上一个点的列表 > deCas :: Float->[[Float]]->[Float] > deCas t（bi:[]）= bi > deCas t bs = deCas t (eval t bs) 用de Casteljau算法计算沿着Bezier曲线的一系列点。点用一个列表返回。 用法：bezierCurve n b  n = 要计算的点的个数  b = Bezier控制点列表 返回：Bezier曲线上n＋1个点 例子：bezierCurve 50 <nowiki>[[0,0]，[1,1]，[0,1]，[1,0]]</nowiki> > bezierCurve :: Int->[[Float]]->[[Float]] > bezierCurve n b = [deCas (fromIntegral x / fromIntegral n) b | x<-[0 .. n] ] 

Python

（该代码用到Python图像库（页面存档备份，存于互联网档案馆））

import Image import ImageDraw SIZE=128 image = Image.new("RGB", (SIZE, SIZE)) d = ImageDraw.Draw(image) def midpoint((x1, y1), (x2, y2)): return ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) MAX_LEVEL = 5 def draw_curve(P1, P2, P3, P4, level=1): if level == MAX_LEVEL: d.line((P1, P4)) else: L1 = P1 L2 = midpoint(P1, P2) H = midpoint(P2, P3) R3 = midpoint(P3, P4) R4 = P4 L3 = midpoint(L2, H) R2 = midpoint(R3, H) L4 = midpoint(L3, R2) R1 = L4 draw_curve(L1, L2, L3, L4, level+1) draw_curve(R1, R2, R3, R4, level+1) draw_curve((10,10),(100,100),(100,10),(100,100)) image.save(r"c:\DeCasteljau.png", "PNG") print "ok." 

参考

• Farin, Gerald & Hansford, Dianne (2000). The Essentials of CAGD. Natic, MA: A K Peters, Ltd. ISBN 1-56881-123-3

参看

• Horner法：计算单项式形式多项式
• Clenshaw算法：计算切比雪夫形式多项式