68–95–99.7法則

在統計上，68–95–99.7法則（68–95–99.7 rule）是在正態分佈中，距平均值小於一個標準差、二個標準差、三個標準差以內的百分比，更精確的數字是68.27%、95.45%及99.73%。若用數學用語表示，其算式如下，其中X為常態分布隨機變數的觀測值，μ為分佈的平均值，而σ為標準差：

正態分佈下，和平均值偏離一個標準差以內的數據會佔68.27%，偏離二個標準差以內的數據會到95.45%，偏離三個標準差以內的數據會到99.73%。

x軸為標準分數，y軸是比標準分數接近平均值之內的比例。y軸是對數長度

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&\approx 0.682689492137086\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 0.954499736103642\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 0.997300203936740\end{aligned}}}$

在實驗科學中有對應正態分佈的三西格馬法則（three-sigma rule of thumb），是一個簡單的推論，內容是「幾乎所有」的值都在平均值正負三個標準差的範圍內，也就是在實驗上可以將99.7%的機率視為「幾乎一定」^[1]。不過上述推論是否有效，會視探討領域中「顯著」的定義而定，在不同領域，「顯著」（significant）的定義也隨著不同，例如在社會科學中，若置信区间是在正負二個標準差（95%）的範圍，即可視為顯著。但是在粒子物理中，若是發現（英语：Discovery (observation)）新的粒子，置信区间要到正負五個標準差（99.99994%）的程度。

在不是正態分佈的情形下，也有另一個對應的三西格馬法則（three-sigma rule），即使是在非正態分佈的情形下，至少會有88.8%的機率會在正負三個標準差的範圍內，這是依照切比雪夫不等式的結果。若是單模分佈（unimodal distributions）下，正負三個標準差內的機率至少有95%，若一些符合特定條件的分佈，機率至少會到98%^[2] 。

數值表

由于正态分布含有指数项的特性，超出某个标准差范围的概率会随着该范围的扩大而大幅减小。假如某实验每天进行一次，则实验结果超出某标准差范围的频率可列为下表：

範圍	預期的样本比例在範圍內	近似預期頻率超出範圍	近似頻率（假设每天实验一次）
μ ± 0.5σ	0.382924922548026	3次中发生2次	每星期四至五次
μ ± σ	0.682689492137086^[3]	3次中发生1次	每星期兩次
μ ± 1.5σ	0.866385597462284	7次中发生1次	每星期
μ ± 2σ	0.954499736103642^[4]	22次中发生1次	每三個星期
μ ± 2.5σ	0.987580669348448	81次中发生1次	每三个月
μ ± 3σ	0.997300203936740^[5]	370次中发生1次	每年
μ ± 3.5σ	0.999534741841929	2 149次中发生1次	每六年
μ ± 4σ	0.999936657516334	15 787次中发生1次	每43 年（约一生两次）
μ ± 4.5σ	0.999993204653751	7005147160000000000♠147160次中发生1次	每403 年（近代以来仅1次）
μ ± 5σ	0.999999426696856	7006174427800000000♠1744278次中发生1次	每7003477600000000000♠4776年（人类记录历史以来仅1次）
μ ± 5.5σ	0.999999962020875	7007263302540000000♠26330254次中发生1次	每7004720900000000000♠72090年（智人出现以来仅4次）
μ ± 6σ	0.999999998026825	7008506797346000000♠506797346次中发生1次	每138萬年（直立人出现以来仅1-2次）
μ ± 6.5σ	0.999999999919680	7010124501973930000♠12450197393次中发生1次	每3400萬年（恐龙灭绝以来仅2次）
μ ± 7σ	0.999999999997440	7011390682215445000♠390682215445次中发生1次	每10.7億年（地球诞生以来仅4次）
μ ± xσ	${\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}}$ 次中发生1次	每${\displaystyle {\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}}$ 天

参考文献

1. 「三西格馬法則」的用法大約是在公元2000年代時出現，有刊載在Schaum's Outline of Business Statistics. McGraw Hill Professional. 2003: 359 及Grafarend, Erik W. Linear and Nonlinear Models: Fixed Effects, Random Effects, and Mixed Models. Walter de Gruyter. 2006: 553. 上
2. See:
   • Wheeler, D. J.; Chambers, D. S. Understanding Statistical Process Control. SPC Press. 1992. 
   • Czitrom, Veronica; Spagon, Patrick D. Statistical Case Studies for Industrial Process Improvement. SIAM. 1997: 342. 
   • Pukelsheim, F. The Three Sigma Rule. American Statistician. 1994, 48: 88–91. 
3. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A178647. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
4. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A110894. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
5. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A270712. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 

参见

•  统计学主题

• P值
• 西格玛等级
• 標準分數
• t-統計（英语：t-statistic）