黑克代數

黑克代數，又名黑克環，是對稱羣環（group ring for the symmetric group）${\displaystyle \mathbb {c} {\mathfrak {S}}_{d}}$的${\displaystyle \epsilon -}$形變，在代數數論及表示論都會出現。

定義

設

• ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {C} }$ 
• ${\displaystyle l\geq 1}$ 

黑克環${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{l}(\epsilon )}$ 產生自：

• ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},......,\sigma _{l-1}}$ 

而${\displaystyle \sigma _{i}}$ 要符合：

• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i}^{-1}\sigma _{i}=1}$ 
• 當|i-j|>1，就有 ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$ 
• 當j=i+1，就有${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}}$ 
• ${\displaystyle (\sigma _{i}+1)(\sigma _{i}-\epsilon )=0}$ 

當l=1時，就約定${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}(\epsilon )=\mathbb {C} }$ 。

留意：最後一項條件中當${\displaystyle \epsilon =1}$ 時，${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$ ，此所謂形變。

參攷

• Vyjayanthi Chari / Andrew Pressley (1994), "A Guide to Quantum Groups", Cambridge, ISBN 0-521-55884-0 , p.332