Mathematical Analysis second edition, Tom M. Apostol, Pearson Education Taiwan Ltd.
Rudin, Walter, Principles of mathematical analysis Second, New York: McGraw-Hill, 1964.
一月 30, 2023
黎曼, 斯蒂尔杰斯积分, 英語, riemann, stieltjes, integral, 是數學中的一種, 積分, 概念, 是對黎曼积分的推廣, 有數種定義方式, 但不是每種定義方式都是彼此等價的, 目录, 定義, 区间的分割, 黎曼, 斯蒂尔杰斯和, 黎曼, 斯蒂尔杰斯積分, 第一種定義, 第二種定義, 與黎曼積分間的關聯, 參見, 參考文獻定義, 编辑和黎曼積分一樣, 的定義依賴對區間分割的定義, 区间的分割, 编辑, 一个闭区间, displaystyle, 的一个分割p是指在此区间中取一个有限的点列a,. 黎曼 斯蒂尔杰斯积分 英語 Riemann Stieltjes integral 是數學中的一種 積分 概念 是對黎曼积分的推廣 黎曼 斯蒂尔杰斯积分有數種定義方式 但不是每種定義方式都是彼此等價的 目录 1 定義 1 1 区间的分割 1 2 黎曼 斯蒂尔杰斯和 1 3 黎曼 斯蒂尔杰斯積分 1 3 1 第一種定義 1 3 2 第二種定義 2 與黎曼積分間的關聯 3 參見 4 參考文獻定義 编辑和黎曼積分一樣 黎曼 斯蒂尔杰斯积分的定義依賴對區間分割的定義 区间的分割 编辑 一个闭区间 a b displaystyle a b 的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列a x 0 lt x 1 lt x 2 lt lt x n b displaystyle a x 0 lt x 1 lt x 2 lt ldots lt x n b 每个闭区间 x i x i 1 displaystyle x i x i 1 叫做一个子区间 这些子區間长度的最大值 l displaystyle lambda 為 l max x i 1 x i 0 i n 1 displaystyle lambda max x i 1 x i mid 0 leq i leq n 1 定义取样分割 一个闭区间 a b displaystyle a b 的一个取样分割是指分割 P a x 0 lt x 1 lt lt x n b displaystyle P a x 0 lt x 1 lt cdots lt x n b 再加上一組有限點 a t 0 t 1 t n 1 b displaystyle a leq t 0 leq t 1 leq cdots leq t n 1 leq b 其中 t i x i x i 1 displaystyle t i in x i x i 1 對所有 0 i n 1 displaystyle 0 leq i leq n 1 精细化分割 设x 0 x n displaystyle x 0 ldots x n 以及t 0 t n 1 displaystyle t 0 ldots t n 1 构成了闭区间 a b displaystyle a b 的一个取样分割 y 0 y m displaystyle y 0 ldots y m 和s 0 s m 1 displaystyle s 0 ldots s m 1 是另一个分割 如果对于任意0 i n displaystyle 0 leq i leq n 都存在r i displaystyle r i 使得x i y r i displaystyle x i y r i 并存在r i j r i 1 displaystyle r i leq j leq r i 1 使得t i s j displaystyle t i s j 那么就把分割 y 0 y m displaystyle y 0 ldots y m s 0 s m 1 displaystyle s 0 ldots s m 1 称作分割x 0 x n displaystyle x 0 ldots x n t 0 t n 1 displaystyle t 0 ldots t n 1 的一个精细化分割 简单来说 就是说分割y 0 y m displaystyle y 0 ldots y m s 0 s m 1 displaystyle s 0 ldots s m 1 是在分割x 0 x n displaystyle x 0 ldots x n t 0 t n 1 displaystyle t 0 ldots t n 1 的基础上添加一些分点和标记 即是說 設P a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b displaystyle P a x 0 x 1 x 2 ldots x n 1 x n b 是閉區間 a b displaystyle a b 的一個分割 若分割P displaystyle P 是分割P displaystyle P 的一個精細化分割 則P P displaystyle P subseteq P 也就是說 分割P displaystyle P 是分割P displaystyle P 的子集 于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系 称作 精细 如果一个分割是另外一个分割的精细化分割 就说前者比后者更 精细 黎曼 斯蒂尔杰斯和 编辑 对一个在闭区间 a b displaystyle a b 有定义的实值函数 f displaystyle f 其對於函數 g displaystyle g 关于分割 P a x 0 lt x 1 lt lt x n b displaystyle P a x 0 lt x 1 lt cdots lt x n b 的黎曼 斯蒂尔杰斯和 規定為下式 S P f g i 0 n 1 f c i g x i 1 g x i displaystyle S P f g sum i 0 n 1 f c i cdot left g x i 1 g x i right 和式中的 c i x i x i 1 0 i n 1 displaystyle c i in x i x i 1 0 leq i leq n 1 黎曼 斯蒂尔杰斯積分 编辑 當注意的是 這兩個定義在黎曼 斯蒂尔杰斯积分的情況下 並不完全等價 以第一種定義可推出其存在的積分 必能以第二種定義推出其存在 但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算 第一種定義 编辑 A R displaystyle A in mathbb R 是函数 f displaystyle f 在闭区间 a b displaystyle a b 上對函數 g displaystyle g 的黎曼 斯蒂尔杰斯積分的值 若且唯若对任意的 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 存在 d gt 0 displaystyle delta gt 0 使得对任意的分割 P a x 0 lt x 1 lt lt x n b displaystyle scriptstyle P a x 0 lt x 1 lt cdots lt x n b 只要這分割的子区间最大長度滿足 l d displaystyle lambda leq delta 且對任意的 c i x i 1 x i 0 i n 1 displaystyle scriptstyle c i in x i 1 x i 0 leq i leq n 1 有 S P f g A lt ϵ displaystyle left S P f g A right lt epsilon 第二種定義 编辑 A R displaystyle A in mathbb R 是函数 f displaystyle f 在闭区间 a b displaystyle a b 上對函數 g displaystyle g 的黎曼 斯蒂尔杰斯积分的值 若且唯若对于任意的 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 存在分割 P ϵ displaystyle P epsilon 使得對任何比 P ϵ displaystyle P epsilon 還要 精细 的分割 P a x 0 lt x 1 lt lt x n b displaystyle scriptstyle P a x 0 lt x 1 lt cdots lt x n b 跟任意選取的 c i x i 1 x i 0 i n 1 displaystyle scriptstyle c i in x i 1 x i 0 leq i leq n 1 都有 S P f g A lt ϵ displaystyle left S P f g A right lt epsilon 若一個函數f displaystyle f 在闭区间 a b displaystyle a b 上對函數g displaystyle g 的黎曼 斯蒂尔杰斯积分存在 且值為A displaystyle A 則可寫作A a b f x d g x displaystyle A int a b f x dg x 與黎曼積分間的關聯 编辑若g x x displaystyle g x x 時 f displaystyle f 在闭区间 a b displaystyle a b 上對函數g displaystyle g 的黎曼 斯蒂尔杰斯积分 a b f x d g x displaystyle int a b f x dg x 即為f displaystyle f 在闭区间 a b displaystyle a b 上的黎曼積分 a b f x d x displaystyle int a b f x dx 故從黎曼 斯蒂尔杰斯积分可引出黎曼積分 若g x displaystyle g x 可微且其對x displaystyle x 微分後的函數g x displaystyle g x 在闭区间 a b displaystyle a b 連續 則f displaystyle f 在闭区间 a b displaystyle a b 上對函數g displaystyle g 的黎曼 斯蒂尔杰斯积分 a b f x d g x displaystyle int a b f x dg x 與黎曼積分 a b f x g x d x displaystyle int a b f x g x dx 相等 參見 编辑黎曼积分 有界變差參考文獻 编辑Mathematical Analysis second edition Tom M Apostol Pearson Education Taiwan Ltd Rudin Walter Principles of mathematical analysis Second New York McGraw Hill 1964 取自 https zh wikipedia org w index php title 黎曼 斯蒂尔杰斯积分 amp oldid 68256281, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,