高斯引理 (多項式)

  关于数论的「高斯引理」，请见「高斯引理」。

在代数學中 ，高斯引理^[1]以高斯命名，是关于整係數多项式的命題，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整環的敘述。

高斯的引理断言两个本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為1的整係數多項式）。

高斯引理有一個推论，有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是不可约的 ，若且唯若它在有理数上是不可约的。

整係數多項式版本

當一個整係數多項式 ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$ 的係數的最大公因數是1，我們稱其為本原多項式。那麼有以下高斯引理：

高斯引理 (本原版本). 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。

证明：

以下以反證法證明。

設整係數多項式${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{s}x^{s},g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{t}x^{t}}$ 都是本原的，並反設${\displaystyle h(x):=f(x)g(x)}$ 不是本原多項式。

於是${\displaystyle h(x)}$ 是非本原的整係數多項式，因此可選整除${\displaystyle h(x)}$ 所有係數的質數${\displaystyle p}$ 。

但${\displaystyle f(x),g(x)}$ 皆是本原的，從而可分別選定${\displaystyle i\in \{0,\dots ,s\},j\in \{0,\dots ,t\}}$ 為滿足${\displaystyle p\nmid a_{i},p\nmid b_{j}}$ 的最小整數。現在我們知道${\displaystyle h(x)}$ 的${\displaystyle i+j}$ 項係數是

${\displaystyle \sum _{k=0}^{i+j}a_{k}b_{i+j-k}\equiv a_{i}b_{j}\not \equiv 0{\pmod {p}}.}$ 

根據假設，該項係數應該被${\displaystyle p}$ 整除，矛盾，故得證。

高斯引理 (不可約版本). 如果一非常數整係數多項式在有理係數多項式環${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ 內可約，則他在整係數多項式環${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ 內也可約。

证明：

設${\displaystyle h(x)}$ 是一在${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ 內可約的非常數整係數多項式。於是可取兩個非常數的有理係數多項式${\displaystyle f_{1}(x),g_{1}(x)}$ 使得${\displaystyle h(x)=f_{1}(x)g_{1}(x)}$ 。

透過適當選取整數${\displaystyle a,b,c,d}$ ，可以假設${\displaystyle \textstyle f_{2}(x):={\frac {a}{c}}f_{1}(x),g_{2}(x):={\frac {b}{d}}g_{1}(x)}$ 皆是本原多項式（當然也就是整係數多項式）。

由上一個引理，${\displaystyle f_{2}(x)g_{2}(x)=\textstyle {\frac {ab}{cd}}h(x)}$ 也是本原多項式。於是${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$ 是${\displaystyle h(x)}$ 的係數的最大公因數，故${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$ 是個整數。

現在，我們有${\displaystyle h(x)=\textstyle {\frac {cd}{ab}}f_{2}(x)g_{2}(x)}$ 且${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$ 是整數，於是也就證明了${\displaystyle h(x)}$ 在${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ 內也可約。

參考資料

1. Article 42 of Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (1801)