鞅中心极限定理

鞅中心极限定理是概率论中的一个定理，对有界的随机变量而言，常见的经典中心极限定理是它的特殊情形。经典中心极限定理说，在一定条件下，独立同分布（i.i.d.）的随机变量之和，乘以适当的标准化因数后，会依分布收敛于标准正态分布 。而鞅中心极限定理将独立性假设放宽为：这些随机变量只需构成一个鞅中的随机增量（鞅是一种随机过程 ，其从时间 ${\displaystyle t}$ 到时间 ${\displaystyle t+1}$ 的增量，在给定时间 1 到 ${\displaystyle t}$ 观测值的条件下，其条件数学期望为零）。

定理内容

鞅中心极限定理的基本内容可陈述如下：令随机变量 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots \,}$  构成一个鞅，即满足条件：

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,}$  （鞅的定义）

进一步假设这个鞅是有限增量的，即：存在一个固定常数 ${\displaystyle k>0}$  ，有：

${\displaystyle |X_{t+1}-X_{t}|\leq k}$ 

对所有 ${\displaystyle t}$  成立。 另假设${\displaystyle |X_{1}|\leq k}$  也成立。 定义增量的条件方差为：

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\mathbb {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1},\ldots ,X_{t}],}$ 

并假设所有条件方差之和发散，即下式以概率1成立：

${\displaystyle \sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty }$ 

据此，对任意给定的常数 ${\displaystyle \nu >0}$  ，可以定义：

${\displaystyle \tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{i}^{2}\geq \nu \right\}.}$ 

在所有上述假设成立的条件下，鞅中心极限定理做出如下结论：标准化的鞅随机变量：

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}$ 

随着 ${\displaystyle \nu \to +\infty \!}$  将会依分布收敛于标准正态分布。

随机增量的条件方差之和必须发散

上述定理假设了所有随机增量的条件方差之和为无穷大，即以下条件以概率1成立：

${\displaystyle \sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty }$ 

这样可以确保以概率1，下式成立：

${\displaystyle \tau _{v}<\infty ,\forall v\geq 0}$ 

并不是所有鞅都满足这个条件，例如恒为零的平凡鞅。

定理的直观理解

可以通过将 ${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}$  如下变形来更好地理解鞅中心极限定理：

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{v}}}{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\sum _{i=1}^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1}$ 

右边的第一项渐近收敛于零，可以忽略。第二项在形式上，与独立同分布随机增量的经典中心极限定理相似，虽然其中被求和项 ${\displaystyle X_{i+1}-X_{i}}$  互相之间未必独立，但由鞅的定义易知它们互不相关的，因为：

${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{i+1}-X_{i})(X_{i+m+1}-X_{i+m})]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [(X_{i+1}-X_{i})(X_{i+m+1}-X_{i+m})|X_{1},\ldots ,X_{i+m}]]=0}$ 

参考文献

• Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8.  Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8.  Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8. 
• 有关定理5.4的讨论以及推论5.3（ii）的正确形式，请参见Bradley, Richard. On some results of MI Gordin: a clarification of a misunderstanding. Journal of Theoretical Probability (Springer). 1988, 1 (2): 115–119. doi:10.1007/BF01046930.