离散对数

未解決的计算机科学問題：是否存在离散对数问题的多项式时间经典算法？

在整數中，離散對數（英語：Discrete logarithm）是一種基於同餘運算和原根的一種對數運算。而在實數中對數的定義 ${\displaystyle \log _{b}a}$ 是指對於給定的 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$，有一個數 ${\displaystyle x}$，使得${\displaystyle b^{x}=a}$。相同地在任何群 G中可為所有整數 ${\displaystyle k}$ 定義一個冪數為 ${\displaystyle b^{k}}$，而離散對數 ${\displaystyle \log _{b}a}$ 是指使得 ${\displaystyle b^{x}=a}$ 的整數 ${\displaystyle k}$ 。 離散對數在一些特殊情況下可以快速計算。然而，通常沒有具非常效率的方法來計算它們。公鑰密碼學中幾個重要算法的基礎，是假設尋找離散對數的問題解，在仔細選擇過的群中，並不存在有效率的求解算法。

定義

當模${\displaystyle m}$ 有原根時，設${\displaystyle l}$ 為模${\displaystyle m}$ 的一個原根，則當${\displaystyle x\equiv l^{k}{\pmod {m}}}$ 時：

${\displaystyle Ind_{l}x\equiv k{\pmod {m}}}$ ，此處的${\displaystyle Ind_{l}x}$ 為${\displaystyle x}$ 以整數${\displaystyle l}$ 為底，模${\displaystyle m}$ 時的離散對數值

性質

離散對數和一般的對數有著相類似的性質：

• ${\displaystyle Ind_{l}xy\equiv Ind_{l}x+Ind_{l}y{\pmod {\phi (m)}}}$ 
• ${\displaystyle Ind_{l}x^{y}\equiv yInd_{l}x{\pmod {\phi (m)}}}$ 

參見

• 原根
• 對數