隆梅尔函数

隆梅尔函数是下列隆梅尔方程的两类解：

第一类隆梅尔函数

第二类隆梅尔函数

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}.}$

1880年数学家隆梅尔（英语：Eugen von Lommel）首先给出隆梅尔方程的两个解，称为隆梅尔函数：

${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {1}{2}}\pi \left[Y_{\nu }(z)\int _{0}^{z}z^{\mu }J_{\nu }(z)\,dz-J_{\nu }(z)\int _{0}^{z}z^{\mu }Y_{\nu }(z)\,dz\right]}$

${\displaystyle \displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)-{\frac {2^{\mu -1}\Gamma ({\frac {1+\mu +\nu }{2}})}{\pi \Gamma ({\frac {\nu -\mu }{2}})}}\left(J_{\nu }(z)-\cos(\pi (\mu -\nu )/2)Y_{\nu }(z)\right)}$

其中 J_ν(z) 是第一类贝塞尔函数， Y_ν(z) 是第二类贝塞尔函数。

参考文献

• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol II (PDF), McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1953 [2014-05-31], MR 0058756, （原始内容 (PDF)于2011-07-14） 
• Lommel, E., Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function, Math. Ann., 1875, 9 (3): 425–444, doi:10.1007/BF01443342 
• Lommel, E., Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV, Math. Ann., 1880, 16 (2): 183–208, doi:10.1007/BF01446386 
• Paris, R. B., 隆梅尔函数, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
• Solomentsev, E.D., l/l060800, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

外部链接

• Weisstein, Eric W. "Lommel Differential Equation." （页面存档备份，存于互联网档案馆） From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Weisstein, Eric W. "Lommel Function." （页面存档备份，存于互联网档案馆） From MathWorld—A Wolfram Web Resource.