阿达马矩阵

在数学中，阿达马矩阵（英語：Hadamard matrix）是一个方阵，每个元素都是 +1 或 −1，每行都是互相正交的。阿达马矩阵常用于纠错码，如 Reed-Muller码（英语：Reed-Muller code）。阿达马矩阵的命名来自于法国数学家雅克·阿达马。

性质

n 阶的阿达马矩阵 H 满足下面的式子

${\displaystyle HH^{\mathrm {T} }=nI_{n}}$ 

这里 I_n 是 n × n 的单位矩阵。

假设 M 是一个 n 阶的实矩阵，它的每个元素都是有界的

|M_ij| ≤1.

则存在阿达马不等式：

${\displaystyle |\operatorname {det} (M)|\leq n^{n/2}.}$ 

当且仅当M是阿达马矩阵式上式取等号。

阿达马矩阵的阶数必须是1、2，或者是4的倍数。

西尔维斯特构造法

阿达马矩阵最初的构造的例子是由詹姆斯·西尔维斯特给出的。假设H是一个n阶的阿达马矩阵，则下面的矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}}$ 

给出一个2n阶的阿达马矩阵。连续使用这个方法，我们可以给出下面的一系列矩阵：

${\displaystyle H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle \vdots }$ 

利用这种方法，西尔维斯特成功地构造了任何2^k 阶阿达马矩阵，其中k为非负整数。

西尔维斯特给出的矩阵有些特殊的性质。他们都是对称矩阵，并且这些矩阵的迹都是0。第一行和第一列的元素都是+1，其他各行各列的元素都是一半+1，一半-1。这些矩阵和沃爾什函数有密切的关系。

阿达马猜想

在阿达马矩阵理论最重要的开放性问题(即尚且无法判断对错的问题)是存在性的问题。

即阿达马猜想: 对于每个4的倍数 n = 4k，k 为自然数，都存在 n 阶的阿达马矩阵。

西尔维斯特构造法给出了阶数为1, 2, 4, 8, 16, 32 等等的阿达马矩阵，之后阿达马本人给出了阶数为12和20的阿达马矩阵。雷蒙·巴雷（英语：Raymond Paley）随后给出了任何q+1 阶的阿达马矩阵的方法，其中q 是任何模4为3的质数任意次幂。他也给出了形式为2(q+1)的阿达马矩阵的方法，其中q 是任何模4为1的质数任意次幂。他使用了有限域的办法得出了这些结论。阿达马猜想很可能就是Paley提出的。现在有了更多的构造阿达马矩阵的办法。

2004年6月21日，Hadi Kharaghani和Behruz Tayfeh-Rezaie宣布构造出了428阶的阿达马矩阵。^[1]现在最小的尚未被构造出来的4k阶阿达马矩阵是668阶。

参考资料

1. Kharaghani, H.; Tayfeh-Rezaie, B. A Hadamard matrix of order 428 (pdf). Journal of Combinatorial Designs. 2005, 13 (6): 435–440 [2005-06-26]. doi:10.1002/jcd.20043. （原始内容 (PDF)于2011-07-22） （英语）.